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【题目】已知ABC为等边三角形,P是直线AC上一点,ADBPD,以AD为边作等边ADE(D,E在直线AC异侧).

(1)如图1,若点P在边AC上,连CD,且∠BDC=150°,则= ;(直接写结果)

(2)如图2,若点PAC延长线上,DEBCF求证:BF=CF;

(3)在图2中,若∠PBC=15°,AB=,请直接写出CP的长

【答案】(1)(2)证明见解析(3)

【解析】

(1)由题意可证ABD≌△ACE,可得BD=CE,ABD=ACE,即可求∠EDC=60°,EDC=90°,则可得的值;

(2)过点CMBDDE于点M,连接CE,由题意可证ABD≌△ACE,可得BD=CE,AEC=ADB=90°,可求∠DEC=EMC=30°,可得MC=EC=BD,

则可证BDF≌△CMF,可得BF=CF;

(3)作∠ABG=BAD,交AD于点G,由题意可求∠ABG=BAG=15°,可得∠BGD=30°,BG=AG,则可得BG=2BD,GD=BD,AD=BD+2BD,根据勾股定理可求BD=1,AD=2+,即可求AP的长,则可求CP的长.

(1)如图:连接CE

∵△ABC,ADE是等边三角形,

AB=AC,AD=AE,DAE=BAC=60°,

∴∠BAD=CAE,且AB=AC,AD=AE,

∴△ABD≌△ACE(SAS),

BD=CE,ABD=ACE,

∵∠ADB=90°,BDC=150°,ADE=60°,

∴∠EDC=60°,

∵∠BDC=BPC+ACD=BAC+ABD+ACD=60°+ACE+ACD=60°+ECD=150°

∴∠ECD=90°,

tanEDC=,

(2)如图:过点CMBDDE于点M,连接CE

∵△ABCADE是等边三角形,

AB=AC,AD=AE,BAC=DAE=60°=ADE=AED,

∴∠BAD=CAE,且AB=AC,AD=AE,

∴△ABD≌△ACE(ASA),

BD=CE,AEC=ADB=90°,

∵∠BDE=ADB+ADE,DEC=AEC-AED,

∴∠BDE=150°,DEC=30°,

MCBD,

∴∠DMC=BDE=150°,

∴∠EMC=30°,

∴∠DEC=EMC,

MC=CE,

BD=CM,且∠BDE=CMD,BFD=CFM,

∴△BDF≌△CMF(AAS),

CF=BF,

(3)如图:作∠ABG=BAD,交AD于点G

∵∠ABC=60°,PBC=15°,ADBD,

∴∠DAB=15°,

∵∠ABG=BAD,

∴∠ABG=BAG=15°,

∴∠BGD=30°,BG=AG,

BG=2BD,GD=BD,

AD=BD+2BD,

RtABD中,AB2=BD2+AD2

+2=(+2)2 BD2+BD2

BD=1,

AD=2+

∵∠BAD=15°,BAC=60°,

∴∠DAP=45°,且ADBD,

AP=AD=2+

CP=AP-AC=AP-AB=2+-(+),

CP=.

故答案为.

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【题目】小明在课外学习时遇到这样一个问题:

定义:如果二次函数y=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1,b1,c1是常数)与y=a2x2+b2x+c2

(a2≠0,a2,b2,c2是常数)满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则称这两个函数互为“旋转函数”.求y=-2x2+5x-3函数的“旋转函数”.

小明是这样思考的:由y=-2x2+5x-3函数可知,a1=-2,b1=5,c1=-3,根据a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,求出a2,b2,c2就能确定这个函数的“旋转函数”.

请参考小明的方法解决下面的问题:

(1)写出函数y=-2x2+5x-3的“旋转函数”;

(2)若函数y1=x2 x-n与y2=-x2-mx-2互为“旋转函数”,求(m+n)2019的值;

(3)已知函数y=(x-2)(x+3)的图像与轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1,试证明经过点A1、B1、C1的二次函数与函数y= (x-2)(x+3)互为“旋转函数”.

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【题目】已知P是⊙O上一点,过点P作不过圆心的弦PQ,在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B(不与P,Q重合),连接AP、BP. 若∠APQ=BPQ.

(1)如图1,当∠APQ=45°,AP=1,BP=2时,求⊙O的半径;

(2)如图2,选接AB,交PQ于点M,点N在线段PM(不与P、M重合),连接ON、OP,若∠NOP+2OPN=90°,探究直线ABON的位置关系,并证明.

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【题目】如图,在路灯下,小明的身高如图中线段AB所示,他在地面上的影子如图中线段AC所示,小亮的身高如图中线段FG所示,路灯灯泡在线段DE上.

1)请你确定灯泡所在的位置,并画出小亮在灯光下形成的影子.

2)如果小明的身高AB=1.6m,他的影子长AC=1.4m,且他到路灯的距离AD=2.1m,求灯泡的高.

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的最大距离是5m

1经过讨论同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案如下图

你选择的方案是_____填方案一方案二或方案三),B点坐标是______求出你所选方案中的抛物线的表达式

2因为上游水库泄洪水面宽度变为6m求水面上涨的高度

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A. B. C. D.

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1)求ABBC的长;

2)如果AD=7CF=14,求BE的长.

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(1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式;

(2)过点轴于点,过点轴于点,求四边形的面积

(3)当时,的取值范围是________.

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(1)求图象过点B的反比例函数的解析式;

(2)求图象过点A,B的一次函数的解析式;

(3)在第一象限内,当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数的图象下方时,请直接写出自变量x的取值范围.

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