【题目】已知△ABC为等边三角形,P是直线AC上一点,AD⊥BP于D,以AD为边作等边△ADE(D,E在直线AC异侧).
(1)如图1,若点P在边AC上,连CD,且∠BDC=150°,则= ;(直接写结果)
(2)如图2,若点P在AC延长线上,DE交BC于F求证:BF=CF;
(3)在图2中,若∠PBC=15°,AB=,请直接写出CP的长 .
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【解析】
(1)由题意可证△ABD≌△ACE,可得BD=CE,∠ABD=∠ACE,即可求∠EDC=60°,∠EDC=90°,则可得的值;
(2)过点CM∥BD交DE于点M,连接CE,由题意可证△ABD≌△ACE,可得BD=CE,∠AEC=∠ADB=90°,可求∠DEC=∠EMC=30°,可得MC=EC=BD,
则可证△BDF≌△CMF,可得BF=CF;
(3)作∠ABG=∠BAD,交AD于点G,由题意可求∠ABG=∠BAG=15°,可得∠BGD=30°,BG=AG,则可得BG=2BD,GD=BD,AD=BD+2BD,根据勾股定理可求BD=1,AD=2+,即可求AP的长,则可求CP的长.
(1)如图:连接CE
∵△ABC,△ADE是等边三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠DAE=∠BAC=60°,
∴∠BAD=∠CAE,且AB=AC,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴BD=CE,∠ABD=∠ACE,
∵∠ADB=90°,∠BDC=150°,∠ADE=60°,
∴∠EDC=60°,
∵∠BDC=∠BPC+∠ACD=∠BAC+∠ABD+∠ACD=60°+∠ACE+∠ACD=60°+∠ECD=150°
∴∠ECD=90°,
∴tan∠EDC=,
∴;
(2)如图:过点CM∥BD交DE于点M,连接CE
∵△ABC和△ADE是等边三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°=∠ADE=∠AED,
∴∠BAD=∠CAE,且AB=AC,AD=AE,
∴△ABD≌△ACE(ASA),
∴BD=CE,∠AEC=∠ADB=90°,
∵∠BDE=∠ADB+∠ADE,∠DEC=∠AEC-∠AED,
∴∠BDE=150°,∠DEC=30°,
∵MC∥BD,
∴∠DMC=∠BDE=150°,
∴∠EMC=30°,
∴∠DEC=∠EMC,
∴MC=CE,
∴BD=CM,且∠BDE=∠CMD,∠BFD=∠CFM,
∴△BDF≌△CMF(AAS),
∴CF=BF,
(3)如图:作∠ABG=∠BAD,交AD于点G
∵∠ABC=60°,∠PBC=15°,AD⊥BD,
∴∠DAB=15°,
∵∠ABG=∠BAD,
∴∠ABG=∠BAG=15°,
∴∠BGD=30°,BG=AG,
∴BG=2BD,GD=BD,
∴AD=BD+2BD,
在Rt△ABD中,AB2=BD2+AD2.
∴(+)2=(+2)2 BD2+BD2.
∴BD=1,
∴AD=2+,
∵∠BAD=15°,∠BAC=60°,
∴∠DAP=45°,且AD⊥BD,
∴AP=AD=2+,
∵CP=AP-AC=AP-AB=2+-(+),
∴CP=.
故答案为.
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【题目】小明在课外学习时遇到这样一个问题:
定义:如果二次函数y=a1x2+b1x+c1(a1≠0,a1,b1,c1是常数)与y=a2x2+b2x+c2
(a2≠0,a2,b2,c2是常数)满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则称这两个函数互为“旋转函数”.求y=-2x2+5x-3函数的“旋转函数”.
小明是这样思考的:由y=-2x2+5x-3函数可知,a1=-2,b1=5,c1=-3,根据a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,求出a2,b2,c2就能确定这个函数的“旋转函数”.
请参考小明的方法解决下面的问题:
(1)写出函数y=-2x2+5x-3的“旋转函数”;
(2)若函数y1=x2+ x-n与y2=-x2-mx-2互为“旋转函数”,求(m+n)2019的值;
(3)已知函数y=(x-2)(x+3)的图像与轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1,试证明经过点A1、B1、C1的二次函数与函数y= (x-2)(x+3)互为“旋转函数”.
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【题目】已知P是⊙O上一点,过点P作不过圆心的弦PQ,在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点A、B(不与P,Q重合),连接AP、BP. 若∠APQ=∠BPQ.
(1)如图1,当∠APQ=45°,AP=1,BP=2时,求⊙O的半径;
(2)如图2,选接AB,交PQ于点M,点N在线段PM上(不与P、M重合),连接ON、OP,若∠NOP+2∠OPN=90°,探究直线AB与ON的位置关系,并证明.
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【题目】如图,在路灯下,小明的身高如图中线段AB所示,他在地面上的影子如图中线段AC所示,小亮的身高如图中线段FG所示,路灯灯泡在线段DE上.
(1)请你确定灯泡所在的位置,并画出小亮在灯光下形成的影子.
(2)如果小明的身高AB=1.6m,他的影子长AC=1.4m,且他到路灯的距离AD=2.1m,求灯泡的高.
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【题目】如图,是一座古拱桥的截面图,拱桥桥洞的上沿是抛物线形状,当水面的宽度为10m时,桥洞与水面
的最大距离是5m.
(1)经过讨论,同学们得出三种建立平面直角坐标系的方案(如下图)
你选择的方案是_____(填方案一,方案二,或方案三),则B点坐标是______,求出你所选方案中的抛物线的表达式;
(2)因为上游水库泄洪,水面宽度变为6m,求水面上涨的高度.
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【题目】如图,矩形ABCD的边长AD=6,AB=4,E为AB的中点,F在边BC上,且BF=2FC,AF分别与DE、DB相交于点M,N,则MN的长为( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,已知AD∥BE∥CF,它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F,,AC=14;
(1)求AB、BC的长;
(2)如果AD=7,CF=14,求BE的长.
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【题目】如图,一次函数交轴于点,交轴于点,且与反比例函数的图象交于,两点.
(1)分别求出一次函数与反比例函数的表达式;
(2)过点作轴于点,过点作轴于点,求四边形的面积;
(3)当时,的取值范围是________.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,顶点C的坐标为(1,).
(1)求图象过点B的反比例函数的解析式;
(2)求图象过点A,B的一次函数的解析式;
(3)在第一象限内,当以上所求一次函数的图象在所求反比例函数的图象下方时,请直接写出自变量x的取值范围.
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