Question

【题目】如图，已知∠AOB＝60°，半径为2的⊙M与边OA、OB相切，若将⊙M水平向左平移，当⊙M与边OA相交时，设交点为E和F，且EF＝6，则平移的距离为____．

Answer 1

【答案】2或6

【解析】

分类讨论：当将⊙M水平向左平移，当点M运动到M′位置时，作MC⊥OA于C点，M′H⊥OA于H，M′Q⊥MC于Q，连结M′E，根据切线的性质得MM′∥OB，MC＝2，再根据垂径定理得EH＝EF＝3，在Rt△EHM′中利用勾股定理计算出HM′＝，则CQ＝M′H＝，所以MQ＝2﹣＝，然后利用含30°的直角三角形三边的关系可得到MM′；

当将⊙M水平向左平移，当点M运动到M″位置时，作MC⊥OA于C点，M″H⊥OA于H，M″M交OA于D点，同理得到MC＝2，M′H＝，利用平行线的性质得∠MDC＝∠M″DH＝∠AOB＝60°，则∠HM″D＝30°，∠CMD＝30°，根据含30°的直角三角形三边的关系可得到M″D和MD，则可得到MM″＝6．

解：当将⊙M水平向左平移，当点M运动到M′位置时，

如图，作MC⊥OA于C点，M′H⊥OA于H，M′Q⊥MC于Q，连结M′E，

∵⊙M与边OB、OA相切，

∴MM′∥OB，MC＝2，

∵M′H⊥OA，

∴EH＝CH＝EF＝×6＝3，

在Rt△EHM′中，EM′＝2，

∴HM′＝，

∵M′Q⊥MC，

∴四边形M′QCH为矩形，

∴CQ＝M′H＝，

∴MQ＝2﹣＝，

∵∠QM′M＝∠AOB＝60°，

∴∠QM′M＝30°，

∴M′Q＝＝1，

∴MM′＝2；

当将⊙M水平向左平移，当点M运动到M″位置时，如图2，

作MC⊥OA于C点，M″H⊥OA于H，M″M交OA于D点，

易得MC＝2，M′H＝，

∵∠MDC＝∠M″DH＝∠AOB＝60°，

∴∠HM″D＝30°，∠CMD＝30°，

在Rt△HM″D中，M″D＝，则DH＝＝1，

∴M″D＝2DH＝2，

在Rt△CDM中，CM＝2，则DC＝＝2，

∴DM＝2DC＝4，

∴MM″＝2+4＝6，

综上所述，当⊙M平移的距离为2或6．

故答案为：2或6．