Question

3．如图所示，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，B（8，0）．
（1）直接写出点A的坐标；
（2）在y轴上是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，请画出P点的位置；若不存在，说明理由；
（3）如图1所示，若点C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，D点在第四象限，连接OD，求出∠AOD的度数．

Answer 1

分析 （1）因为△AOB为等腰直角三角形，B（8，0），作AE⊥OB于E，则A点坐标可求；
（2）作点B关于y轴的对称点B′，连接AB′交y轴于P，则点P即为所求；
（3）作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，求证△DFC≌△CEA，再根据等量变换，即可求出∠AOD的度数可求．

解答 解：（1）如图1，作AE⊥OB于E，
∵B（8，0），
∴OE=4，
∵△AOB为等腰直角三角形，且AE⊥OB，
∴OE=EA=4，
∴A（4，4）；

（2）如图2所示，

（3）如图3，作AE⊥OB于E，DF⊥OB于F，
∵△ACD为等腰直角三角形，
∴AC=DC，∠ACD=90°
即∠ACF+∠DCF=90°，
∵∠FDC+∠DCF=90°，
∴∠ACF=∠FDC，
在△DFC和△CEA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FDC=∠ACF}\\{∠DFC=∠CEA}\\{CD=AC}\end{array}\right.$
∴△DFC≌△CEA，
∴EC=DF，FC=AE，
∵A（4，4），
∴AE=OE=4，
∴FC=OE，即OF+EF=CE+EF，
∴OF=CE，
∴OF=DF，
∴∠DOF=45°，
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∴∠AOD=∠AOB+∠DOF=90°．

点评 此题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质和坐标与图形性质结合求解，综合性强，难度较大．考查学生综合运用数学知识的能力．