Question

15．某文具店准备购进甲，乙两种钢笔，若购进甲种钢笔100支，乙种钢笔50支，需要1000元，若购进甲种钢笔50支，乙种钢笔30支，需要550元．
（1）求购进甲，乙两种钢笔每支各需多少元？
（2）若该文具店准备拿出1000元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲种钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的8倍，那么该文具店共有几种进货方案？
（3）若该文具店销售甲种钢笔每支可获利2元，销售乙种钢笔每支可获利3元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？？

Answer 1

分析 （1）先设购进甲，乙两种钢笔每支各需a元和b元，根据购进甲种钢笔100支，乙种钢笔50支，需要1000元，若购进甲种钢笔50支，乙种钢笔30支，需要550元列出方程组，求出a，b的值即可；
（2）先设购进甲钢笔x支，乙钢笔y支，根据题意列出5x+10y=1000和不等式组6y≤x≤8y，把方程代入不等式组即可得出20≤y≤25，求出y的值即可；
（3）先设利润为W元，得出W=2x+3y=400-y，根据一次函数的性质求出最大值．

解答 解：（1）设购进甲，乙两种钢笔每支各需a元和b元，根据题意得：
$\left\{\begin{array}{l}{100a+50b=1000}\\{50a+30b=550}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=5}\\{b=10}\end{array}\right.$．
答：购进甲，乙两种钢笔每支各需5元和10元；

（2）设购进甲钢笔x支，乙钢笔y支，根据题意可得：
$\left\{\begin{array}{l}{5x+10y=1000}\\{6y≤x≤8y}\end{array}\right.$，
解得：20≤y≤25，
∴y=20，21，22，23，24，25共六种方案，
答：该文具店共有6种进货方案；

（3）设利润为W元，则W=2x+3y，
∵5x+10y=1000，
∴x=200-2y，
∴代入上式得：W=400-y，
∵-1＜0，W随着y的增大而减小，
∴当y=20时，W有最大值，最大值为W=400-20=380（元）．
答：当购进甲钢笔160支，乙钢笔20支时，获利最大，最大利润是380元．

点评 本题考查了二元一次方程组和不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，找出数量关系，列出相应的方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，有一定的难度．