Question

【题目】如图，已知长方形纸片ABCD，AB=4，BC=10，M是BC的中点，点P沿折线BA—AD运动，以MD为折瘪将长方形纸片向右翻折，使点B落在长方形的AD边上，则折痕MP的长______.

Answer 1

【答案】或或4

【解析】

分三种情况进行讨论：①点B′落在AB边上，②点B′落在AD边上，③点B′与点C重合，根据折叠的性质，分别画出图形进行求解．

解：①如图，当点B′落在AB边上时，过M作ME⊥AD于E，可得四边形ABME为矩形，

∴EM＝AB＝4，AE＝BM，
又∵BC＝10，M为BC的中点，
∴由折叠可得：B′M＝BM＝AE＝5，
在Rt△EMB′中，根据勾股定理得：B′E＝，
∴AB′＝AEB′E＝2，
设BP＝x，则AP＝4x，PB′＝x，
在Rt△PAB′中，根据勾股定理得：PB′＝AP＋AB′，
即x＝(4x)＋2，
解得x＝，
∴PB＝，

在Rt△BMP中，根据勾股定理得：PM＝；
②如图，当点B′落在AD边上时，过M作ME⊥AD于E，可得四边形ABME为矩形，

∴EM＝AB＝4，
又∵BC＝10，M为BC的中点，
∴由折叠可得：B′M＝BM＝5，
在Rt△EMB′中，根据勾股定理得：B′E＝
由AD∥BC可得，∠DPM＝∠BMP，
由折叠可得，∠PMB′＝∠BMP，
∴∠DPM＝∠PMB′，
∴B′M＝B′P＝5，
∴PE＝53＝2，
在Rt△PEM中，根据勾股定理得：PM＝；
③如图，当点B′与点C重合时，由∠A＝∠B＝∠BMP＝90°，可得四边形ABMP为矩形，

此时，PM＝AB＝4．
综上所述，折痕MP的长为：或或4．
故答案为：或或4.