Question

13．如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，若OA，OC的长满足|OA-2|+（OC-2$\sqrt{3}$）²=0．
（1）求B，C两点的坐标； 
（2）把△OAB沿OB对折，点A落在点A′处，线段AB′与y轴交于点D，反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点A′，求k的值；
（3）在直线AA′上是否存在点P，使△BDP为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据“若非负数的和为0，则这些非负数都等于0”可求出OA、OC，从而可得到B，C两点的坐标；
（2）过点A′作A′H⊥x轴于H，如图1，根据轴对称的性质可求出∠A′OH及OA′，然后在Rt△A′OH中运用三角形函数就可求出点A′的坐标，然后代入反比例函数的解析式，就可求出k的值；
（3）在Rt△A′OD中运用三角形函数可求出点D的坐标，然后运用待定系数法可求出直线AA′的解析式，设点P的横坐标为x，运用两点之间的距离公式分别表示出DP²、DB²、BP²，然后分三种情况（①∠BDP=90°，②∠DBP=90°，③∠BPD=90°）讨论，根据勾股定理建立方程，解这个方程就可解决问题．

解答 解：（1）∵|OA-2|+（OC-2$\sqrt{3}$）²=0，
∴OA-2=0，OC-2$\sqrt{3}$=0，
∴OA=2，OC=2$\sqrt{3}$，
∵四边形OABC是矩形，
∴B，C两点的坐标分别为（2，2$\sqrt{3}$），（0，2$\sqrt{3}$）；

（2）过点A′作A′H⊥x轴于H，如图1．
∵tan∠BOA=$\frac{AB}{OA}$=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴∠BOA=60°．
由折叠可得：∠A′OB=∠AOB=60°，∠OA′B=∠OAB=90°，OA′=OA=2，
∴∠A′OH=60°，
∴A′H=OA′•sin∠A′OH=2×sin60°=$\sqrt{3}$，
OH=OA′•cos∠A′OH=2×cos60°=1，
∴点A′的坐标为（-1，$\sqrt{3}$）．
∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点A′，
∴k=-1×$\sqrt{3}$=-$\sqrt{3}$；

（3）在直线AA′上存在点P，使△BDP为直角三角形．
∵∠A′OD=60°+60°-90°=30°，
∴在Rt△OA′D中，cos30°=$\frac{OA′}{OD}$=$\frac{2}{OD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴点D的坐标为（0，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）．
设直线AA′的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=\sqrt{3}}\\{2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AA′的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
设点P的横坐标为x，则P（x，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．
由两点之间的距离公式可得：
DP²=（x-0）²+（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）²=$\frac{4}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+$\frac{4}{3}$，
BP²=（x-2）²+（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-2$\sqrt{3}$）²=$\frac{4}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+$\frac{28}{3}$，
DB²=（2-0）²+（2$\sqrt{3}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）²=$\frac{16}{3}$．
①若∠BDP=90°，如图2，
则有DB²+DP²=BP²，
∴$\frac{16}{3}$+$\frac{4}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+$\frac{4}{3}$=$\frac{4}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+$\frac{28}{3}$，
解得x=1，
∴点P的坐标为（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）；
②若∠DBP=90°，如图3，
则有DB²+BP²=DP²，
∴$\frac{16}{3}$+$\frac{4}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+$\frac{28}{3}$=$\frac{4}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+$\frac{4}{3}$，
解得x=5，
∴点P的坐标为（5，-$\sqrt{3}$）；
③若∠DPB=90°，则BP²+DP²=DB²，
∴$\frac{4}{3}$x²-$\frac{4}{3}$x+$\frac{28}{3}$+$\frac{4}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x+$\frac{4}{3}$=$\frac{16}{3}$
整理得x²=-2，
∴方程无解．
综上所述：满足条件的点P的坐标为（1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）和（5，-$\sqrt{3}$）．

点评 本题主要考查了绝对值的非负性、矩形的性质、轴对称的性质、运用待定系数法求反比例函数及直线的解析式、勾股定理、解方程、特殊角的三角函数值、两点之间的距离公式[AB²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²，其中A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）]等知识，运用分类讨论的数学思想是解决第（3）小题的关键．