Question

如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，作AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则BE平分∠ABC．请证明这一结论．有几种证明方法呢？

Answer 1

考点：线段垂直平分线的性质,含30度角的直角三角形

专题：

分析：证明一：先根据直角三角形两锐角互余得出∠ABC=90°-∠A=60°，再由DE是AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得出EA=EB，由等角对等边得出∠ABE=∠A=30°，于是∠EBC=∠ABC-∠ABE=30°，那么∠ABE=∠EBC，即BE平分∠ABC；
证明二：先根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出BC=

1

2

AB，而BD=

1

2

AB，那么BC=BD．再利用HL证明Rt△BCE≌Rt△BDE，根据全等三角形对应角相等得到∠CBE=∠DBE，即BE平分∠ABC；
证明三：先根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出BC=

1

2

AB，而BD=

1

2

AB，那么BC=BD．再利用勾股定理得出EC=

BE2-BC2

，ED=

BE2-BD2

，于是EC=ED，根据角平分线的判定即可证明BE平分∠ABC．

解答：证明一：∵△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=90°-∠A=60°．
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA=EB，
∴∠ABE=∠A=30°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=30°，
∴∠ABE=∠EBC，
即BE平分∠ABC；
证明二：∵△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴BC=

1

2

AB，
∵BD=

1

2

AB，
∴BC=BD．
在Rt△BCE与Rt△BDE中，

BE=BE BC=BD

，
∴Rt△BCE≌Rt△BDE（HL），
∴∠CBE=∠DBE，
即BE平分∠ABC；
证明三：∵△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴BC=

1

2

AB，
∵BD=

1

2

AB，
∴BC=BD．
∵在Rt△BCE中，由勾股定理得EC=

BE2-BC2

，
在Rt△BDE中，由勾股定理得ED=

BE2-BD2

，
∴EC=ED，
∵∠C=90°，ED⊥AB于D，
∴BE平分∠ABC．

点评：本题考查了线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的判定，难度适中．