Question

已知关于的方程x²-（k+2）x+2k=0．
（1）求证：无论k取何值，它总有实数根；
（2）若等腰三角形一边a=3，另两边为方程的根，求k值及三角形的周长．

Answer 1

考点：根的判别式,解一元二次方程-因式分解法,等腰三角形的性质

专题：证明题

分析：（1）先计算判别式的值得到△=（k-2）²，然后根据非负数的性质和判别式的意义判断方程总有实数根；
（2）分类讨论：当a=3是等腰三角形的底时，则△=0，即（k-2）²=0，解的k=2，再把k=2代入方程求出两根，然后计算三角形周长；当a=3是等腰三角形的腰时，则a=3是方程的一个根，把x=3代入方程求出k．从而确定一元二次方程，然后解方程求出两根，再计算三角形周长．

解答：（1）证明：∵△=[-（k+2）]²-4•2k=（k-2）²≥0，
∴无论k取何值，它总有实数根；
（2）解：当a=3是等腰三角形的底时，则△=0，即（k-2）²=0，解得k=2，则方程为x²-4x+4=0，解得x₁=x₂=2，此时等腰三角形的周长为2+2+3=7；
当a=3是等腰三角形的腰时，则a=3是方程的一个根，将x=3代入x²-（k+2）x+2k=0得，k=3，此时方程变为x²-5x+6=0，解方程得x₁=2，x₂=3，所以等腰三角形的底为2，周长为3+3+2=8．

点评：本题考查了根的判别式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与△=b²-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了等腰三角形的性质．