Question

19．大家知道，因式分解是数学中的一种重要的恒等变形，运用因式分解的思想方法有时能取得意想不到的效果，如化简：$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{2-1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{（\sqrt{2}）^{2}-1}{\sqrt{2}+1}$=$\frac{（\sqrt{2}+1）（\sqrt{2}-1）}{\sqrt{2}+1}$=$\sqrt{2}$-1；
$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\frac{3-2}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\frac{（\sqrt{3}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\frac{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$．
（1）化简：$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$；
（2）从以上化简结构中找出规律，写出用n（n≥1，且n为你整数）表示上面规律的式子；
（3）根据以上规律计算：
（$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2015}+\sqrt{2014}}$）（$\sqrt{2015}$+$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 （1）根据平方差公式，可分母有理化；
（2）根据观察，可发现规律：$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$   （n≥1，且n为整数）；
（3）根据规律，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案．

解答 解：（1）原式=$\frac{（\sqrt{4}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$=$\frac{（\sqrt{4}+\sqrt{3}）（\sqrt{4}-\sqrt{3}）}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$；
（2）$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$   （n≥1，且n为整数）；
（3）原式=（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$+…+$\sqrt{2015}$-$\sqrt{2014}$）（$\sqrt{2015}$+$\sqrt{2}$）=（$\sqrt{2015}$+$\sqrt{2}$）（$\sqrt{2015}$-$\sqrt{2}$）=2015-2=2013．

点评 本题考查了分母有理化，利用平方差公式是解题关键．