Question

【题目】如图所示，抛物线yx2bxc与直线yx3分别交于x轴，y轴上的B，C两点，设该抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为D，连接CD交x轴于点E．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）求该抛物线的对称轴和D点坐标；

（3）点F，G是对称轴上两个动点，且FG=2，点F在点G的上方，请直接写出四边形ACFG的周长的最小值；

（4）连接BD，若P在y轴上，且∠PBC=∠DBA+∠DCB，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直线；（3）；（4）点P的坐标为或

【解析】

（1）先根据直线求出B,C的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的表达式即可；

（2）将抛物线的表达式变为顶点式，即可得到对称轴和D点坐标；

（3）因为AC,FG的值固定，所以只需找到的最小值即可，过点C作抛物线对称轴的对称点，将向下平移2个单位使F与点G重合，得到，则，当三点共线时，最小，最小值即为的长度，通过勾股定理求出的值即可求解；

（4）分两种情况：当点P在y轴正半轴时和当点P在y轴负半轴时，首先通过锐角三角函数得出，从而得出，设，则，通过建立一个关于m的方程解方程即可求出PC的值，进而OP的长度即可，则P的坐标可求．

解：（1）令，则，

令，则，解得，

，

将点代入中得，

，

解得

∴抛物线的解析式为；

（2）∵，

∴抛物线的对称轴为，；

（3）∵抛物线的对称轴为，,

，

∵，

∵四边形ACFG的周长为，而，

∴只需找到的最小值即可，

过点C作抛物线对称轴的对称点，将向下平移2个单位使F与点G重合，得到，则，

当三点共线时，最小，最小值即为的长度，

，抛物线对称轴为，

，

，

，

，

∴四边形ACFG的周长的最小值为；

（4）如图，当点P在y轴正半轴时，过点P作交BC的延长线于点Q，

∵，

．

设直线的解析式为，

将代入解析式中得

，

解得，

∴直线CB解析式为，

令，则，解得，

∴，

，

．

，

，

，

．

，

．

，

.

设，则，

，

，

解得，

，

，

；

当点P在y轴负半轴时，如图，

同理可得．

设，则，

，

，

解得，

，

，

，

综上所述，点P的坐标为或．