Question

如图①所示，点C将线段AB分成两部分，如果

AC

AB

=

BC

AC

，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S₁，S₂，如果

S1

S

=

S2

S1

，那么称直线为该图形的黄金分割线．
问题探究：
（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB上的黄金分割点，如图②，则直线CD是△ABC的黄金分割线，你认为呢？为什么？
（2）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF如图③，则直线EF也是△ABC的黄金分割线，请你说明理由．
（3）如图④，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交CD于点F，显然直线EF是平行四边形的黄金分割线，请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过四边形ABCD各边黄金分割点．
（4）如图⑤等腰梯形ABCD，请你画出它的一条黄金分割线，使它不经过各边的黄金分割点．

Answer 1

考点：相似形综合题,黄金分割

专题：

分析：（1）设△ABC边AB上的高为h，先求出

S△ADC

S△ABC

=

AD

AB

，

S△BDC

S△ADC

=

BD

AD

，再根据

AD

AB

=

BD

AD

得出

S△ADC

S△ABC

=

S△BDC

S△ADC

，即可证出直线CD是△ABC的黄金分割线；
（2）先证出S_△DEC=S_△FCE，设直线EF与直线CD交于点G，证出S_△ADC=S_△AEF，S_{四边形BEFC}=S_△BDC，再根据

S△ADC

S△ABC

=

S△BDC

S△ADC

，得出

S△AEF

S△ABC

=

S四边形BEFC

S△AEF

，即可证出直线EF也是△ABC的黄金分割线；
（3）在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线；
（4）分别作出AB、CD的黄金分割点E、F，在FC上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN就是等腰梯形ABCD的黄金分割线．

解答：解：（1）设△ABC边AB上的高为h，
∵S_△ADC=

1

2

AD•h，S_△BDC=

1

2

BD•h，S_△ABC=

1

2

AB•h，
∴

S△ADC

S△ABC

=

AD

AB

，

S△BDC

S△ADC

=

BD

AD

，
∵点D为AB上的黄金分割点，
∴

AD

AB

=

BD

AD

，
∴

S△ADC

S△ABC

=

S△BDC

S△ADC

，
∴直线CD是△ABC的黄金分割线；

（2）∵DF∥CE，
∴△DEC和△FCE的公共边CE上的高也相等，
∴S_△DEC=S_△FCE，
如图③，设直线EF与直线CD交于点G，
∵S_△DGC=S_△FGC，
∴S_△ADC=S_{四边形AFGD}+S_△FGC=S_{四边形AFGD}+S_△DGE=S_△AEF，
S_{四边形BEFC}=S_△BDC，
∵

S△ADC

S△ABC

=

S△BDC

S△ADC

，
∴

S△AEF

S△ABC

=

S四边形BEFC

S△AEF

，
∴直线EF也是△ABC的黄金分割线；

（3）如图④，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，
则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线；

（4）如图⑤，分别作出AB、CD的黄金分割点E、F，在FC上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，
则直线MN就是等腰梯形ABCD的黄金分割线．

点评：此题考查了相似形综合，用到的知识点是相似形的性质、黄金分割、三角形的面积，关键是根据题意画出图形，注意黄金分割线的灵活运用．