Question

【题目】如图，在半径为2的⊙O中，弦AB⊥直径CD，垂足为E，∠ACD＝30°，点P为⊙O上一动点，CF⊥AP于点F．

①弦AB的长度为_____；

②点P在⊙O上运动的过程中，线段OF长度的最小值为_____．

Answer 1

【答案】2． -1

【解析】

①在Rt△AOE中，解直角三角形求出AE即可解决问题．

②取AC的中点H，连接OH，OF，HF，求出OH，FH，根据OF≥FH-OH，即，由此即可解决问题．

解：①如图，连接OA．

∵OA＝OC＝2，

∴∠OCA＝∠OAC＝30°，

∴∠AOE＝∠OAC+∠ACO＝60°，

∴AE＝OAsin60°＝，

∵OE⊥AB，

∴AE＝EB＝，

∴AB＝2AE＝2，

故答案为2．

②取AC的中点H，连接OH，OF，HF，

∵OA＝OC，AH＝HC，

∴OH⊥AC，

∴∠AHO＝90°，

∵∠COH＝30°，

∴OH＝OC＝1，HC＝，AC＝2，

∵CF⊥AP，

∴∠AFC＝90°，

∴HF＝AC＝，

∴OF≥FH﹣OH，即OF≤﹣1，

∴OF的最小值为﹣1．

故答案为﹣1．