Question

【题目】 在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，当△CDP为等腰三角形时，求点P的坐标；

（3）如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M（m，0）是x轴一个动点，请直接写出CN+MN+MB的最小值以及此时点M、N的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）当△CDP为等腰三角形时，点P的坐标为（1，2）或（2，1）或（3-，）；（3）CN+MN+MB的最小值为，N坐标为（1，3-），M坐标为（，0）．

【解析】

（1）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；

（2）由待定系数法即可求得直线BC的解析式，再设P（t，3-t），即可得D（t，-t2+2t+3），即可求得PD的长，然后分三种情况讨论，求点P的坐标；

（3）如图2，构造BG与x轴成30°角，将MB转化为线段M到BG的距离，从而可知C、M、N、B′在同一条直线上时，CN+MN+MB取最小值，根据CG的长和∠CGB=60°即可求出最小值．根据直线BG求出直线CB′解析式，即求出MN坐标．

解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B、C，把A（-1，0），C（0，3）代入解析式得，

∴，

解得b=2，c=3．

故该抛物线解析式为：y=-x2+2x+3．

（2）令-x2+2x+3=0，

解得x1=-1，x2=3，

即B（3，0），

设直线BC的解析式为y=kx+b′，

则，

解得：，

故直线BC的解析式为y=-x+3；

∴设P（t，3-t），

∴D（t，-t2+2t+3），

∴PD=（-t2+2t+3）-（3-t）=-t2+3t，

∵OB=OC=3，

∴△BOC是等腰直角三角形，

∴∠OCB=45°，

当CD=PC时，则∠CPD=∠CDP，

∵PD∥y轴，

∴∠CPD=∠OCB=45°，

∴∠CDP=45°，

∴∠PCD=90°，

∴直线CD的解析式为y=x+3，

解得或，

∴D（1，4），

此时P（1，2）；

当CD=PD时，则∠DCP=∠CPD=45°，

∴∠CDP=90°，

∴CD∥x轴，

∴D点的纵坐标为3，

代入y=-x2+2x+3得，3=-x2+2x+3，

解得x=0或x=2，

此时P（2，1）；

当PC=PD时，∵PC=t，

∴t=-t2+3t，

解得t=0或t=3-，

此时P（3-，）；

综上，当△CDP为等腰三角形时，点P的坐标为（1，2）或（2，1）或（3-，）．

（3）CN+MN+MB的最小值为，N坐标为（1，3-），M坐标为（，0）．

理由如下：

如图，取G点坐标为（0，-），连接BG，

∵B（3，0），

∴直线BG解析式为：y=，

∴tan∠GBO=30°，

过M点作MB′⊥BG，∴，

∴CN+MN+MB=CN+MN+B′M，

∴CN+MN+MB取最小值时，C、M、N、B′在同一条直线上，

即CB′⊥BG，

设直线CB′解析式为，∵C（0，3）

故直线CB′解析式为为，

∵抛物线的顶点为E坐标为（1，4），EF⊥x轴，N在EF、CB′上，

∴N坐标为（1，3-），

M（m，0）是x轴一个动点，也是CB′与x轴交点，

∴M（，0）．

∵CG=3+，∠CGB=60°，

∴CB′=CGsin∠CGB=（3+）×=，

综上所述：CN+MN+MB的最小值为，N坐标为（1，3-），M坐标为（，0）．