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【题目】以△ABC的三边为边在BC的同一侧作等边△ABP,等边△ACQ,等边△BCR

1)四边形QRPA是平行四边形吗?若是,请证明;若不是,请说明理由.

2)当△ABC满足什么条件时,四边形QRPA是矩形?请说明理由.

【答案】1)四边形QRPA是平行四边形,理由详见解析;(2)当∠BAC150°时,四边形QRPA是矩形,理由详见解析

【解析】

1)由SAS可证BRP≌△BCACAB≌△CQR,可得PRACABRQ,可得RPAQAPRQ,可得结论;

2)当BAC150时,由周角的性质可求PAQ90,可证平行四边形QRPA是矩形.

证明:(1)四边形QRPA是平行四边形

理由如下:等边ABP,等边ACQ,等边BCR

ABPBBCBRCRACCQPBARBCBCRACQ60

∴∠PBRABCACBQCR

∴△BRP≌△BCASAS),

PRAC

BCRCBCARCQACCQ

∴△CAB≌△CQRSAS

ABRQ

RPAQAPRQ

四边形QRPA是平行四边形;

2)当BAC150时,四边形QRPA是矩形,

∵∠PAQ+∠BAP+∠CAQ+∠BAC360

∴∠PAQ360606015090

平行四边形QRPA是矩形.

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