Question

18．等边△OAB在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），将△OAB绕点O顺时针方向旋转a°（0＜a＜360）得△OA₁B₁．
（1）求出点B的坐标；
（2）当A₁与B₁的纵坐标相同时，求出a的值；
（3）在（2）的条件下直接写出点B₁的坐标．

Answer 1

分析 （1）如图1所示过点B作BC⊥OA，垂足为C．由等边三角形的性质和特殊锐角三角函数值可知OC=1，BC=$\sqrt{3}$，从而可求得点B的坐标；
（2）如图2所示，根据平行线的性质和旋转的定义可确定出a的值；
（3）利用旋转的性质可知A₁B₁=2，从而可求得点B₁的值．

解答 解：（1）如图1所示过点B作BC⊥OA，垂足为C．

∵△OAB为等边三角形，
∴∠BOC=60°，OB=BA．
∵OB=AB，BC⊥OA，
∴OC=CA=1．
在Rt△OBC中，$\frac{BC}{OC}=\sqrt{3}$，
∴BC=$\sqrt{3}$．
∴点B的坐标为（1，$\sqrt{3}$）．
（2）如图2所示：

∵点B1与点A1的纵坐标相同，
∴A₁B₁∥OA．
①如图2所示：当a=300°时，点A₁与点B₁纵坐标相同．
如图3所示：

当a=120°时，点A₁与点B₁纵坐标相同．
∴当a=120°或a=300°时，点A₁与点B₁纵坐标相同．
（3）如图2所示：由旋转的性质可知A₁B₁=AB=2，点B的坐标为（1，2），
∴点B₁的坐标为（-1，$\sqrt{3}$）．
如图3所示：由旋转的性质可知：点B₁的坐标为（1，-$\sqrt{3}$）．
∴点B1的坐标为（-1，$\sqrt{3}$）或（1，-$\sqrt{3}$）．

点评 本题主要考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质、等边三角形的性质，掌握相关性质是解题的关键．