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【题目】已知,如图,a,b,c分别是ΔABC中∠A,∠B,∠C的对边,P为BC上一点,以AP为直径的圆O交AB于D,PE∥AB交AC于E,b,c是方程x2+kx+9=0的两根,且(b2+c2)(b2+c2-14)-72=0,锐角B的正弦值等于

(1)求K的值;

(2)设BD=x,求四边形ADPE的面积为S关于x的函数关系式;

(3)问圆O是否能与BC相切?若能请求出x的值;若不能,请说明理由。

【答案】(1)k=-6 (2)(3)能, .

【解析】试题分析:1)求出b2+c2=18,根据根与系数的关系求出b+c=-kbc=9,代入得出方程(-k2-2×9=18,求出即可;
2)求出方程的解,得出AB=AC=3,根据sinB==,设PD=2yPD=3y,在RtBDP中,由勾股定理求出y=x,得出PD=2xPB=3x,求出BC,根据CPE∽△CBA,得出比例式求出PE,代入S=PE+AD×PD求出即可;(3)根据圆的切线的性质,当∠APB=90°时,圆O能与BC相切,根据等腰三角形性质得出BD=DC=,根据PB=3x=求出即可.

试题解析:(1)(b2+c2)(b2+c214)72=0

(b2+c2)214(b2+c2)72=0

解得:b2+c2=18,b2+c2=4(舍去)

b,c是方程x2+kx+9=0的两根,

b+c=kbc=9

b2+c2=(b+c)22bc=18

(k)22×9=18

解得:k=6k=6

b+c=kcb是三角形的边长,

k=6舍去,

k=6

(2)k=6代入方程得:x26x+9=0

解得:x1=x2=3

b=c=3

AB=AC=3

AP是直径,

∴∠ADP=90=BDP

sinB=

=

PD=y,BD=3y,RtBDP,由勾股定理得:PD2+BD2=PB2

(y)2+x2=(3y)2

解得:y=x

PD=x,PB=3x,

AANBCN

AB=3,sinB=

AN=

由勾股定理得:BN=1

AB=ACANBC

CN=BN=1

BC=2

PEAB

CPECBA

PE=x+3

∴四边形ADPE的面积S= (PE+ADPD=×(x+3+3xx=x2+x

答:四边形ADPE的面积为S关于x的函数关系式是S=x2+x.

(3)O能与BC相切,

理由是:根据圆的切线的性质,当∠APB=90时,圆O能与BC相切,

AP是直径,

∴∠ADP=90

AC=AB=3BC=2

BD=DC=1

(2)知:PB=3x=1

x=

答:圆O能与BC相切,x的值是.

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