【题目】已知,如图,a,b,c分别是ΔABC中∠A,∠B,∠C的对边,P为BC上一点,以AP为直径的圆O交AB于D,PE∥AB交AC于E,b,c是方程x2+kx+9=0的两根,且(b2+c2)(b2+c2-14)-72=0,锐角B的正弦值等于。
(1)求K的值;
(2)设BD=x,求四边形ADPE的面积为S关于x的函数关系式;
(3)问圆O是否能与BC相切?若能请求出x的值;若不能,请说明理由。
【答案】(1)k=-6 (2)(3)能, .
【解析】试题分析:(1)求出b2+c2=18,根据根与系数的关系求出b+c=-k,bc=9,代入得出方程(-k)2-2×9=18,求出即可;
(2)求出方程的解,得出AB=AC=3,根据sinB==,设PD=2y,PD=3y,在Rt△BDP中,由勾股定理求出y=x,得出PD=2x,PB=3x,求出BC,根据△CPE∽△CBA,得出比例式求出PE,代入S=(PE+AD)×PD求出即可;(3)根据圆的切线的性质,当∠APB=90°时,圆O能与BC相切,根据等腰三角形性质得出BD=DC=,根据PB=3x=求出即可.
试题解析:(1)∵(b2+c2)(b2+c214)72=0,
∴(b2+c2)214(b2+c2)72=0,
解得:b2+c2=18,b2+c2=4(舍去),
∵b,c是方程x2+kx+9=0的两根,
∴b+c=k,bc=9,
∴b2+c2=(b+c)22bc=18,
即(k)22×9=18,
解得:k=6,k=6,
∵b+c=k,c、b是三角形的边长,
∴k=6舍去,
即k=6;
(2)把k=6代入方程得:x26x+9=0,
解得:x1=x2=3,
即b=c=3,
AB=AC=3,
∵AP是直径,
∴∠ADP=90=∠BDP,
∵sinB=,
∴=,
设PD=y,BD=3y,在Rt△BDP中,由勾股定理得:PD2+BD2=PB2,
即(y)2+x2=(3y)2,
解得:y=x,
PD=x,PB=3x,
过A作AN⊥BC于N,
∵AB=3,sinB=,
∴AN=,
由勾股定理得:BN=1,
∵AB=AC,AN⊥BC,
∴CN=BN=1,
BC=2,
∵PE∥AB,
∴△CPE∽△CBA,
∴,
∴,
∴PE=x+3,
∴四边形ADPE的面积S= (PE+AD)×PD=×(x+3+3x)×x=x2+x,
答:四边形ADPE的面积为S关于x的函数关系式是S=x2+x.
(3)圆O能与BC相切,
理由是:根据圆的切线的性质,当∠APB=90时,圆O能与BC相切,
∵AP是直径,
∴∠ADP=90,
∵AC=AB=3,BC=2,
∴BD=DC=1,
由(2)知:PB=3x=1,
x=,
答:圆O能与BC相切,x的值是.
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【题目】如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过A的一条直线,且B,C在AE的异侧,BD⊥AE于点D,CE⊥AE于点E.
(1)求证:BD=DE+CE;
(2)若直线AE绕点A旋转到图2位置时(BD<CE),其余条件不变,问BD与DE,CE的关系如何,请证明;
(3)若直线AE绕点A旋转到图3时(BD>CE),其余条件不变,BD与DE,CE的关系怎样?请直接写出结果,不须证明.
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【题目】下列说法正确的是( )
A. 三角形的三条高至少有一条在三角形内
B. 直角三角形只有一条高
C. 三角形的角平分线其实就是角的平分线
D. 三角形的角平分线、中线、高都在三角形的内部
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【题目】如图,四边形ABCD内接于以BC为直径的圆O,且AB=AD,延长CB、DA交于P,当PB=BO,CD=18时,求:
(1)⊙O的半径长;
(2)PA的长。
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别在AC,BC上,且∠CDE=∠B,将△CDE沿DE折叠,点C恰好落在AB边上的点F处.若AC=8,AB=10,则CD的长为 .
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【题目】如图,⊙O的直径AB=12cm,C为AB延长线上一点,CP与⊙O相切于点P,过点B作弦BD∥CP,连接PD.
(1)求证:点P为的中点;
(2)若∠C=∠D,求四边形BCPD的面积.
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