Question

【题目】如图，在矩形OABC 中，OA＝5，AB＝4，点D 为边AB 上一点，将△BCD 沿直线CD 折叠，使点B 恰好落在OA边上的点E 处，分别以OC，OA 所在的直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系．

(1)求OE 的长；

(2)求经过O，D，C 三点的抛物线的表达式；

(3)一动点P从点C 出发，沿CB以每秒2 个单位长的速度向点B运动，同时动点Q从E 点出发，沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t s，当t为何值时，DP＝DQ.

Answer 1

【答案】(1)3(2) y＝x2＋x；(3)

【解析】

（1）在Rt△COE中，OE＝；

（2）在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2＋AE2＝DE2，即m2＋22＝(4－m)2，解得m，求得：O,D,C的坐标，再代入解析式，可解得；

（3）由CP＝2t，BP＝5－2t，和BD＝DE＝，再证Rt△DBP≌Rt△DEQ，得BP＝EQ.可求得t.

解：(1)∵CE＝CB＝5，CO＝AB＝4，

∴在Rt△COE中，

OE＝＝3；

(2)设AD＝m，则DE＝BD＝4－m，

∵OE＝3，∴AE＝5－3＝2，

在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2＋AE2＝DE2，即m2＋22＝(4－m)2，解得m＝，

∴D，∵C(－4，0)，O(0，0)，

∴设过O，D，C三点的抛物线为y＝ax(x＋4)，

∴－5＝，解得a＝，

∴抛物线表达式为y＝x(x＋4)＝x2＋x；

(3)∵CP＝2t，∴BP＝5－2t，

由折叠的性质，得BD＝DE＝，

在Rt△DBP和Rt△DEQ中，,

∴Rt△DBP≌Rt△DEQ(HL)

∴BP＝EQ，

∴5－2t＝t，∴t＝.