Question

【题目】已知，点E在正方形的边上（不与点B，C重合），是对角线，延长到点F，使，过点E作的垂线，垂足为G，连接，．

（1）根据题意补全图形，并证明；

（2）①用等式表示线段与的数量关系，并证明；

②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)①；②.

【解析】

(1)补全图形后，如下图所示，证明△EGC为等腰三角形即可；

(2)①连接GF，GD，证明△BGE≌△FGC，得到GF=GB，再证明△ABG≌△ADG，得到GD=GF，进一步得到△DGF为等腰直角三角形，进而得到；

②连接AE，证明△ABE≌△DCF，得到DF=AE，在Rt△AEG中由勾股定理得到，进而得到.

解：(1)补全图形如下所示：

证明：∵四边形ABCD为正方形，AC是对角线

∴∠GCE=45°

∵EG⊥AC

∴∠EGC=90°

∴∠GEC=∠GCE=45°

∴△GEC为等腰直角三角形

∴GC=GE.

(2)①连接GF，GD，如下图所示：

由(1)知：∠GEB=180°-∠GEC=180°-45°=135°，∠GCF=180°-∠GCE=180°-45°=135°

∴∠GEB=∠GCF

在△GBE和△GCF中

，∴△GBE≌△GCF(SAS)

∴GF=GB，且∠3=∠4

在△ABG和△ADG中

，∴△ABG≌△ADG(SAS)

∴GB=GD，∠1=∠2

故GF=GD，△GDF为等腰三角形

又∠2+∠4=90°

∴∠1+∠3=90°，即∠DGF=90°

∴△GDF为等腰直角三角形

∴.

故答案为：.

②连接AE，如下图所示：

在△ABE和△DCF中

，∴△ABE≌△DCF(SAS)

∴

又由①中知：

∴

且

在Rt△AGE中，由勾股定理：，将上述等式代入：

故有

即：.

故线段，，之间的数量关系为：.

故答案为：.