Question

【题目】如图1，张老师在黑板上画出了一个，其中，让同学们进行探究．

（1）探究一：

如图2，小明以为边在内部作等边，连接，请直接写出的度数_____________；

（2）探究二：

如图3，小彬在（1）的条件下，又以为边作等边，连接.判断与的数量关系；并说明理由；

（3）探究三：

如图3，小聪在（2）的条件下，连接，若，求的长．

Answer 1

【答案】（1）150；（2）CE=AD．理由见解析；（3）．

【解析】

（1）根据已知条件可知△ABD≌△ACD，进而得出∠ADB的度数；

（2）通过证明△ABD≌△EBC即可解答；

（3）通过前两问得出∠DCE=90°，通过角度运算得出∠BDE=90°，分别由勾股定理运算即可得．

（1）∵△BCD是等边三角形，

∴BD=BC，∠BDC=60°

∴在△ABD与△ACD中，

∴△ABD≌△ACD（SSS），

∴∠ADB=∠ADC=

故答案为：150°

（2）结论：CE=AD．

理由：∵△BDC、△ABE都是等边三角形，

∴∠ABE=∠DBC=60°，AB=BE，BD=DC，

∴∠ABE﹣∠DBE=∠DBC﹣∠DBE，

∴∠ABD=∠EBC，

在△ABD和△EBC中

，

∴△ABD≌△EBC(SAS)

∴CE=AD

（3）∵△ABD≌△EBC，

∴∠BDA=∠ECB=150°

∵∠BCD=60°，

∴∠DCE=90°．

∵∠DEC=60°，

∴∠CDE=30°

∵DE=2，

∴CE=1，

由勾股定理得：DC=BC=，

∵∠BDE=60°+30°=90°，DE=2，BD=

由勾股定理得：BE=

∵△ABE是等边三角形，

∴AE=BE=．