Question

【题目】如图， ABCD 为正方形， O 为 AC 、 BD 的交点，在中， 90， 30，若OE ，则正方形的面积为（ ）

A. 5B. 4C. 3D. 2

Answer 1

【答案】B

【解析】

过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，判断出四边形OMEN是矩形，根据矩形的性质可得∠MON=90°，再求出∠COM=∠DON，根据正方形的性质可得OC=OD，然后利用“角角边”证明△COM和△DON全等，根据全等三角形对应边相等可得OM=ON，然后判断出四边形OMEN是正方形，设正方形ABCD的边长为，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得DE=CD，再利用勾股定理列式求出CE，根据正方形的性质求出OC=OD=a，然后利用四边形OCED的面积列出方程求出，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解．

解：如图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，

∵∠CED=90°，
∴四边形OMEN是矩形，
∴∠MON=90°，
∵∠COM+∠DOM=∠DON+∠DOM，
∴∠COM=∠DON，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OD，
在△COM和△DON中，

，
∴△COM≌△DON（AAS），
∴OM=ON，
∴四边形OMEN是正方形，
设正方形ABCD的边长为，则OC=OD=
∵∠CED=90°，∠DCE=30°，
∴DE=CD=，
由勾股定理得，CE= ，
∴四边形OCED的面积=，
解得，
所以，正方形ABCD的面积=．
故选：B．