Question

【题目】如图，在ABC中，∠C＝90，BD平分∠ABC，交AC于D，点O、E、F分别在BD、BC、

AC上，且四边形OECF是正方形.

（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；

（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的长.

Answer 1

【答案】(1)见解析：（2）2.

【解析】（1）过点O作OM⊥AB，由角平分线的性质得OE=OM，由正方形的性质得OE=OF，易得OM=OF，由角平分线的判定定理得点O在∠BAC的平分线上；

（2）由勾股定理得AB的长，利用方程思想解得结果．

解：（1）过点O作OM⊥AB于点M

∵正方形OECF

∴OE＝EC＝CF＝OF，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F

∵BD平分∠ABC，OM⊥AB于M，OE⊥BC于E

∴OM＝OE＝OF

∵OM⊥AB于M，OE⊥BC于E

∴∠AMO＝90°，∠AFO＝90°

∵

∴Rt△AMO≌Rt△AFO

∴∠MAO＝∠FAO

∴点O在∠BAC的平分线上

（2）方法一：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12

∴AB＝13

易证：BE＝BM，AM＝AF

又BE＝BC－CE，AF＝AC－CF，而CE＝CF＝OE

故：BE＝12－OE，AF＝5－OE

显然：BM＋AM＝AB

即：BE＋AF＝13

12－OE＋5－OE＝13

解得OE＝2

方法二：利用面积法：

从而解得 OE＝2