Question

如图，直线L₁：y=kx-4（k＞0）与x轴、y轴分别交于点A、B，现将直线L₁沿x轴正方向平移m个单位长度后得到直线L₂，直线L₂与x，y轴分别交于点C、D，已知两直线L₁，L₂之间的距离等于3．
（1）用含k的代数式表示m；
（2）若S_△AB0：S_{四边形ABDC}=1：3，试求点A坐标．

Answer 1

考点：一次函数图象与几何变换

专题：

分析：（1）先由直线L₁的解析式为y=kx-4（k＞0），得出L₁与x轴、y轴的交点A、B的坐标，再根据平移的规律得出直线L₂的解析式为y=k（x-m）-4，则L₂与x，y轴的交点C、D的坐标可求．过A、B分别作L₂的垂线段AE、BF，则AE=BF=3，由两角对应相等的两三角形相似得出△ACE∽△DBF，则

AC

DB

=

CE

BF

，即

m

km

=

m2-9

3

，整理后即可得出用含k的代数式表示m的式子；
（2）先由AB∥CD，得出△ABO∽△CDO，根据相似三角形的性质得出S_△AB0：S_△CD0=（OA：OC）²=1：4，则OA：OC=1：2，由此列出方程m+

4

k

=2×

4

k

，进而得出m=

4

k

，再将m=

3 k+1

k

代入，求出k=

7

9

，即可得到点A的坐标．

解答：解：（1）∵直线L₁：y=kx-4（k＞0）与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（

4

k

，0），B（0，-4）．
∵将直线L₁沿x轴正方向平移m个单位长度后得到直线L₂，
∴直线L₂的解析式为y=k（x-m）-4．
∵直线L₂与x，y轴分别交于点C、D，
∴C（m+

4

k

，0），D（0，-km-4）．
过A、B分别作L₂的垂线段AE、BF，则AE=BF=3．
在△ACE与△DBF中，

∠CAE=∠BDF ∠AEC=∠DFB

，
∴△ACE∽△DBF，
∴

AC

DB

=

CE

BF

，即

m

km

=

m2-9

3

，
整理，得m=

3 k+1

k

；

（2）∵S_△AB0：S_{四边形ABDC}=1：3，
∴S_△AB0：S_△CD0=1：4．
∵AB∥CD，
∴△ABO∽△CDO，
∴S_△AB0：S_△CD0=（OA：OC）²，
∴（OA：OC）²=1：4，
∴OA：OC=1：2，
∴OC=2OA，
∴m+

4

k

=2×

4

k

，
∴m=

4

k

，
∵m=

3 k+1

k

，
∴

3 k+1

k

=

4

k

，
解得k=

7

9

，
∴点A坐标为（

36

7

，0）．

点评：本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，综合性较强，有一定难度．