Question

【题目】如图，点A，B，C，D是直径为AB的⊙O上四个点，C是劣弧的中点，AC交BD于点E，AE＝2，EC＝1．

（1）求证：△DEC∽△ADC；

（2）连结DO，探究四边形OBCD是否是菱形？若是，请你给予证明；若不是，请说明理由；

（3）延长AB到H，使BH＝OB，求证：CH是⊙O的切线．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）是，见解析；（3）见解析

【解析】

（1）根据等弧所对的圆周角相等得出，从而证明△DEC∽△ADC；

（2）首先利用（1）的结论求出DC，再利用勾股定理计算AB，根据计算结果可以判定四边形OBCD是菱形；

（3）连接交于，利用（2）的结论证明BG是△OHC的中位线，进而得出BG∥CH，最后根据切线的判定定理进行证明．

解：（1）是劣弧的中点，

，

又，

；

（2）由（1）得，

，

，

是的直径，

．

，

，

，

四边形是菱形；

（3）连接交于，

四边形是菱形，

且，

又已知，

∴BG是△OHC的中位线，

∴，

，

是的切线．