Question

已知：如图△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，相交于点F．求证：
（1）∠BFE=60°；
（2）FE=FD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：证明题

分析：（1）证明∠EBF=∠CBF=α，∠DCF=∠BCF=β，求出α+β=60°，证明∠BFE=α+β=60°问题即可解决．
（2）证明∠A+∠EFD=180°，得到A、E、F、D四点共圆；证明∠EAF=∠DAF，故FE=FD．

解答：证明：（1）∵BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠EBF=∠CBF=α，∠DCF=∠BCF=β；
又∵∠A=60°，
∴2α+2β=180°-60°=120°，
∴α+β=60°，
∴∠BFE=α+β=60°．
（2）如图，连接AF；
∵∠BFE=60°，
∴∠EFD=120°，
∴∠A+∠EFD=180°，
∴A、E、F、D四点共圆，设为⊙O；
由题意知在⊙O中，∠EAF=∠DAF，
∴FE=FD（相等的圆周角所对的弦相等）．

点评：该题主要考查了三角形角平分线的性质、三角形外角的性质、四点共圆的判定及其应用等几何知识点；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．