Question

【题目】如图1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°．

（1）OC的长为　 　；

（2）D是OA上一点，以BD为直径作⊙M，⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时，sin∠BOQ=　 　；

（3）如图2，动点P以每秒1个单位长度的速度，从点O沿线段OA向点A运动；同时动点D以相同的速度，从点B沿折线B﹣C﹣O向点O运动．当点P到达点A时，两点同时停止运动．过点P作直线PE∥OC，与折线O﹣B﹣A交于点E．设点P运动的时间为t（秒）．求当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）；（3）点E的坐标为（1，2）、（，）、（4，2）．

【解析】分析：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），易证四边形OCBH是矩形，从而有OC=BH，只需在△AHB中运用三角函数求出BH即可．

（2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2），则有OH=2，BH=4，MN⊥OC．设圆的半径为r，则MN=MB=MD=r．在Rt△BHD中运用勾股定理可求出r=2，从而得到点D与点H重合．易证△AFG∽△ADB，从而可求出AF、GF、OF、OG、OB、AB、BG．设OR=x，利用BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2可求出x，进而可求出BR．在Rt△ORB中运用三角函数就可解决问题．

（3）由于△BDE的直角不确定，故需分情况讨论，可分三种情况（①∠BDE=90°，②∠BED=90°，③∠DBE=90°）讨论，然后运用相似三角形的性质及三角函数等知识建立关于t的方程就可解决问题．

详解：（1）过点B作BH⊥OA于H，如图1（1），则有∠BHA=90°=∠COA，∴OC∥BH．

∵BC∥OA，∴四边形OCBH是矩形，∴OC=BH，BC=OH．

∵OA=6，BC=2，∴AH=0A﹣OH=OA﹣BC=6﹣2=4．

∵∠BHA=90°，∠BAO=45°，

∴tan∠BAH==1，∴BH=HA=4，∴OC=BH=4．

故答案为：4．

（2）过点B作BH⊥OA于H，过点G作GF⊥OA于F，过点B作BR⊥OG于R，连接MN、DG，如图1（2）．

由（1）得：OH=2，BH=4．

∵OC与⊙M相切于N，∴MN⊥OC．

设圆的半径为r，则MN=MB=MD=r．

∵BC⊥OC，OA⊥OC，∴BC∥MN∥OA．

∵BM=DM，∴CN=ON，∴MN=（BC+OD），∴OD=2r﹣2，∴DH==．

在Rt△BHD中，∵∠BHD=90°，∴BD2=BH2+DH2，∴（2r）2=42+（2r﹣4）2．

解得：r=2，∴DH=0，即点D与点H重合，∴BD⊥0A，BD=AD．

∵BD是⊙M的直径，∴∠BGD=90°，即DG⊥AB，∴BG=AG．

∵GF⊥OA，BD⊥OA，∴GF∥BD，∴△AFG∽△ADB，

∴===，∴AF=AD=2，GF=BD=2，∴OF=4，

∴OG===2．

同理可得：OB=2，AB=4，∴BG=AB=2．

设OR=x，则RG=2﹣x．

∵BR⊥OG，∴∠BRO=∠BRG=90°，∴BR2=OB2﹣OR2=BG2﹣RG2，

∴（2）2﹣x2=（2）2﹣（2﹣x）2．

解得：x=，∴BR2=OB2﹣OR2=（2）2﹣（）2=，∴BR=．

在Rt△ORB中，sin∠BOR===．

故答案为：．

（3）①当∠BDE=90°时，点D在直线PE上，如图2．

此时DP=OC=4，BD+OP=BD+CD=BC=2，BD=t，OP=t． 则有2t=2．

解得：t=1．则OP=CD=DB=1．

∵DE∥OC，∴△BDE∽△BCO，∴==，∴DE=2，∴EP=2，

∴点E的坐标为（1，2）．

②当∠BED=90°时，如图3．

∵∠DBE=OBC，∠DEB=∠BCO=90°，∴△DBE∽△OBC，

∴==，∴BE=t．

∵PE∥OC，∴∠OEP=∠BOC．

∵∠OPE=∠BCO=90°，∴△OPE∽△BCO，

∴==，∴OE=t．

∵OE+BE=OB=2t+t=2．

解得：t=，∴OP=，OE=，∴PE==，

∴点E的坐标为（）．

③当∠DBE=90°时，如图4．

此时PE=PA=6﹣t，OD=OC+BC﹣t=6﹣t．

则有OD=PE，EA==（6﹣t）=6﹣t，

∴BE=BA﹣EA=4﹣（6﹣t）=t﹣2．

∵PE∥OD，OD=PE，∠DOP=90°，∴四边形ODEP是矩形，

∴DE=OP=t，DE∥OP，∴∠BED=∠BAO=45°．

在Rt△DBE中，cos∠BED==，∴DE=BE，

∴t=t﹣2）=2t﹣4．

解得：t=4，∴OP=4，PE=6﹣4=2，∴点E的坐标为（4，2）．

综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时点E的坐标为（1，2）、（）、（4，2）．