Question

如图：已知在等边三角形ABC中，点D、E分别是AB、BC延长线上的点，且BD=CE，直线CD与AE相交于点F．

（1）求证：DC=AE；

（2）求证：AD²=DC•DF．

Answer 1

【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

【分析】（1）利用“SAS”证明△DBC≌△ECA即可；

（2）由△DBC≌△ECA可知∠E=∠D，根据外角定理可知∠AFC=∠E+∠FCE=∠D+∠BCD=∠ABC=60°，可证△DCA∽△DAF，利用相似比得出结论．

【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，BC=CA

∴∠DBC=∠ECA=180°﹣60°=120°

在△DBC与△ECA中

∴△DBC≌△ECA（SAS）

∴DC=AE；

（2）∵△DBC≌△ECA，

∴∠DCB=∠EAC

又∠ACB=∠BAC

∴∠DCA=∠DAF

又∠D=∠D

∴△DCA∽△DAF

∴

∴AD²=DC•DF．

【点评】本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质．关键是根据等边三角形的性质找角相等的条件．