Question

 如图(15-1)，点将线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点。某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为的图形分成两部分，这两部分的面积分别为、，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线.

（1）如图(15-2)，在△中，°，，的平分线交于点，请问点是否是边上的黄金分割点，并证明你的结论；

（2）若△在（1）的条件下，如图（15-3），请问直线是不是△的黄金分割线，并证明你的结论；

（3）如图(15-4)，在直角梯形中，，对角线、交于点，延长、交于点，连接交梯形上、下底于、两点，请问直线是不是直角梯形的黄金分割线，并证明你的结论.

Answer 1

解：（1）点D是AB边上的黄金分割点．理由如下：

由题易证△BCD∽△BAC，得，

∴，

∴点D是AB边上的黄金分割点．      …

（2）直线CD是△ABC的黄金分割线．理由如下：

设△ABC中，AB边上的高为h，

则S_△ABC=AB•h，S_△ACD=AD•h，S_△BCD=BD•h．

∴S_△ACD：S_△ABC=AD：AB，S_△BCD：S_△ACD=BD：AD．

由（1）知，点D是AB边上的黄金分割点，

∴S_△ACD：S_△ABC=S_△BCD：S_△ACD，

∴CD是△ABC的黄金分割线．     

（3）直线不是直角梯形ABCD的黄金分割线．理由如下：

∵BC∥AD，

∴△EBG∽△EAH，△EGC∽△EHD，

∴，，

∴，即 ①

同理，由△BGF∽△DHF，△CGF∽△AHF得：

，即 ②

由①、②得：

∴AH=HD，

∴BG=GC．

∴梯形ABGH与梯形GCDH上下底分别相等，高也相等，

∴S_梯形ABGH=S_梯形GCDH=S_梯形ABCD．

∴GH不是直角梯形ABCD的黄金分割线．