Question

11．把两个含有45°角的大小不同的直角三角板如图放置，点D在BC上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F．
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）求证：AB²+EF²=AE²+BF²；
（3）若EC=3，CA=5，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）根据SAS证明全等；
（2）先证明∠EFA=90°，再利用勾股定理可得结论；
（3）根据勾股定理求AD的长，再利用同角的三角函数值列比例式代入求出AF的长．

解答 证明：（1）∵△ECD和△ACB都是等腰直角三角形，
∴EC=DC，AC=BC，∠DCE=∠ACB=90°，
在△ACD和△BCE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{EC=DC}\\{∠DCE=∠ACB}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）∵△ACD≌△BCE，
∴∠CDA=∠BEC，
∵∠ACB=90°，
∴∠CDA+∠DAC=90°，
∴∠BEC+∠DAC=90°，
∴∠EFA=90°，
∴AE²=EF²+AF²，AB²=BF²+AF²，
∴AE²-EF²=AB²-BF²，
∴AB²+EF²=AE²+BF²；
（3）∵EC=3，AC=5，
∴AE=3+5=8，
∵DC=EC=3，
∴AD=$\sqrt{{3}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{34}$，
cos∠FAE=$\frac{AF}{AE}=\frac{AC}{AD}$，
∴$\frac{AF}{8}=\frac{5}{\sqrt{34}}$，
∴AF=$\frac{20\sqrt{34}}{17}$．

点评 本题是三角形问题，考查了等腰直角三角形、全等三角形等性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．本题第二问的证明中有线段的平方，所以考虑构建直角三角形或证明直角三角形，观察图形发现证明AF⊥BE即可．