Question

8．如图．在Rr△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠BAC的平分线交CD于G，交BC于E，∠DCB的平分线交BD于F，连接EF，FG．
（1）求证：四边形CEFG为菱形；
（2）若∠B=45°，请直接写出图中所有等腰直角三角形．

Answer 1

分析 （1）根据四边相等的四边形是菱形，即可证明．
（2）等腰直角三角形有：△ABC，△ACD，△CDB，△GDF，△EFB．

解答 （1）证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CAD+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠CAD=∠BCD，同理∠ACD=∠B，
∵∠CAE=∠EAB，∠BCF=∠FCD，
∴∠BCF=∠CAE，
∵∠BCF+∠ACF=90°，
∴∠CAE+∠ACF=90°，
∴AE⊥CF，
∴∠CAE+∠ACF=90°，∠EAF+∠AFC=90°，
∴∠ACF=∠AFC，
∴AC=AF，
在△ACG和△AFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AG=AG}\\{∠GAC=∠GAF}\\{AC=AF}\end{array}\right.$，
∴△AGC≌△AGF，
∴CG=GF，同理证明CE=EF，
∵∠CGE=∠ACG+∠CAG，∠CEG=∠EAB+∠B，
∴∠CGE=∠CEG，
∴CG=CE=FG=EF，
∴四边形CEFG是菱形．

（2）当∠B=45°时，图中等腰直角三角形有：△ABC，△ACD，△CDB，△GDF，△EFB．

点评 本题考查菱形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的证明方法比较多，属于中考常考题型．