Question

【题目】如图1，抛物线y=﹣x2+6x与x轴交于O、A两点，点P在抛物线上，过点P的直线y=x+m与抛物线的对称轴交于点Q．

（1）这条抛物线的对称轴是：直线　 　，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是　 　度；

（2）若S△POQ：S△PAQ=1：2，求此时的点P坐标；

（3）如图2，点M（1，5）在抛物线上，以点M为直角顶点作Rt△MEF，且E、F均在抛物线上，则所有满足条件的直线EF必然经过定点N，求点N坐标．

Answer 1

【答案】（1）x=3，45（2）（2，8）或（3，9）（3）直线EF过定点N（5，4）

【解析】

（1）根据抛物线的对称轴公式计算即可，根据直线y=x+m与直线y=x平行可得结论．

（2）如图1中，作直线y=x交对称轴于H，连接AH，延长AH交直线PQ于M，作ON⊥PQ于N则四边形ONMH是矩形．△AOH是等腰直角三角形．由S△POQ：S△PAQ=1：2，推出AM=2ON，ON=MH=AH，由点A（6，0），H（3，3），推出点M（0，6），再求出直线PQ，利用方程组即可解决问题．

（3）如图2中，过点M作GH∥OA，过点E作EG⊥GH于G，过点F作FH⊥GH于H．由△EMG∽△MFH，得=，设E（x1，y1）、F（x2，y2），直线EF的解析式为y=mx+n，得=，由y1=﹣x12+6x1，y2=﹣x22+6x2代入上式整理得到x1x2﹣5（x1+x2）+26=0，列出方程组，利用根与系数关系求出m、n的关系即可解决问题．

（1）抛物线y=﹣x2+6x的对称轴x=﹣=3．

∵直线PQ：y=x+m与直线y=x平行，直线y=x是一、三象限的平分线，∴直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45°．

故答案为：x=3，45．

（2）如图1中，作直线y=x交对称轴于H，连接AH，延长AH交直线PQ于M，作ON⊥PQ于N则四边形ONMH是矩形．△AOH是等腰直角三角形．

∵S△POQ：S△PAQ=1：2，∴AM=2ON，∴ON=MH=AH．

∵点A（6，0），H（3，3），∴点M（0，6），∴直线PQ的解析式为y=x+6，由，解得：或，∴点P坐标（2，8）或（3，9）．

（3）如图2中，过点M作GH∥OA，过点E作EG⊥GH于G，过点F作FH⊥GH于H．

∵∠EMF=90°，∴∠EMG+∠FMH=90°．

∵∠FMH+∠MFH=90°，∴∠EMG=∠MFH．

∵∠G=∠H=90°，∴△EMG∽△MFH，∴=．

设E（x1，y1）、F（x2，y2），直线EF的解析式为y=mx+n．

∵EM⊥MF，∴=．

∵y1=﹣x12+6x1，y2=﹣x22+6x2代入上式整理得到x1x2﹣5（x1+x2）+26=0

由消去y得到：x2+（m﹣6）x+n=0，∴x1+x2=6﹣m，x1x2=n，∴n﹣5（6﹣m）+26=0，∴n=4﹣5m，∴直线EF解析式为y=mx+4﹣5m=（x﹣5）m+4，当x=5时，y=4，∴直线EF过定点N（5，4）．