Question

【题目】已知：在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的点，过点F作EF的垂线交DC于点H，以EF为直径作半圆O．

（1）填空：点A （填“在”或“不在”）⊙O上；当弦AE等于弦AF时，的值是 ；

（2）如图1，在△EFH中，当FE＝FH时，求证：AD＝AE+DH；

（3）如图2，当△EFH的顶点F是边AD的中点时，求证：EH＝AE+DH；

（4）如图3，点M在线段FH的延长线上，若FM＝FE，连接EM交DC于点N，连接FN，当AE＝AD时，FN＝4，HN＝3，直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）在，1；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）

【解析】

（1）连接AO，∠EAF＝90°，O为EF中点，所以AO=EF，因此点A在⊙O上，当弦AE等于弦AF时，∠AEF＝45°，tanAEF=tan45°==1；

（2）证明△AEF≌△DFH（AAS），得到AF＝DH，AE＝DF，所以AD＝AF+DF＝AE+DH；

（3）延长EF交HD的延长线于点G，先证明△AEF≌△DGF（ASA），所以AE＝DG，EF＝FG，因为EF⊥FG，所以EH＝GH，GH＝DH+DG＝DH+AE，即EH＝AE+DH；

（4）过点M作MQ⊥AD于点Q，设AF=x，AE=a,所以△EFM是等腰直角三角形，∠FEM=∠FMN=45°，因此△AEF≌△QFM（ASA），AE=EQ=a，AF=QM，AE=AD，AF=DQ=QM，由△FEN∽△HMN，得到，所以tanAEF==.

（1）连接AO，如图1所示：

∵∠EAF＝90°，O为EF中点，

∴AO=EF，

∴点A在⊙O上，

当弦AE等于弦AF时，∠AEF＝45°，

∴tanAEF=tan45°==1.

故点A在⊙O上；当弦AE等于弦AF时，的值是1.

（2）∵EF⊥FH，

∴∠EFH＝90°，

在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，

∴∠AEF+∠AFE＝90°，∠AFE+∠DFH＝90°，

∴∠AEF＝∠DFH，

又FE＝FH，

∴△AEF≌△DFH（AAS），

∴AF＝DH，AE＝DF，

∴AD＝AF+DF＝AE+DH；

（3）如图2所示，延长EF交HD的延长线于点G，

∵F分别是边AD上的中点，

∴AF＝DF，

∵∠A＝∠FDG＝90°，∠AFE＝∠DFG，

∴△AEF≌△DGF（ASA），

∴AE＝DG，EF＝FG，

∵EF⊥FG，

∴EH＝GH，

∴GH＝DH+DG＝DH+AE，

∴EH＝AE+DH；

（4）过点M作MQ⊥AD于点Q，如图3所示，

设AF=x，AE=a,

∵FM=FE，EF⊥FH，

∴△EFM是等腰直角三角形，

∴∠FEM=∠FMN=45°，

∵FM=FE，

∠A=∠MQF=90°，

∠AEF=∠MFQ，

∴△AEF≌△QFM（ASA），

∴AE=EQ=a，AF=QM，

∵AE=AD，

∴AF=DQ=QM=x，

∵DCQM，

∴，

∵DCABQM，

∴，

∴，

∵FE=FM，

，

∠FEM=∠FMN=45°，

∴△FEN∽△HMN，

∴，

∴tanAEF==.