【题目】阅读下面材料，完成（1），（2）两题
数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，在
中，
，
，点
为
上一点，且满足
，
为
上一点，
，延长
交
于
，求
的值．同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现
与
相等．”
小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，就可以求出的值．”
……
老师：“把原题条件中的‘’，改为‘
’其他条件不变（如图2），也可以求出的值．
（1）在图1中，①求证：
；②求出的值；
（2）如图2，若，直接写出的值（用含
的代数式表示）．
【答案】（1）①证明见解析；②
；（2）
【解析】
（1）①根据三角形内角和定理可得
，然后根据三角形外角的性质可得
，从而证出结论；
②过点
作
交
的延长线于点
，过点
作
于点
，过点
作
交
于点，利用ASA证出
，可得
，再利用AAS证出
，可得
，利用平行线分线段成比例定理即可证出结论；
（2）根据三角形内角和定理可得，然后根据三角形外角的性质可得，过点作交的延长线于点，过点作于点，过点作交于点，利用ASA证出，可得
，再利用相似三角形的判定证出
，可得
，利用平行线分线段成比例定理即可证出结论；
证明：（1）①∵
，
∴
∵
，
∴，
∴
②如图，过点作交的延长线于点，过点作于点，过点作交于点，
∵，
，
∴
，
∴
，
∵
∴，
∴
∵点
是中点，
∴
∵
，
∴，
∴
∵
∴
，
∴
∵
∴
（2）∵，
∴
∵，
∴，
∴
过点作交的延长线于点，过点作于点，过点作交于点，
∵，，
∴，
∴，
∵
∴，
∴
∵
，
∴
∵，
∴，
∴
∴
∵
∴
，
∴
∵
∴
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【题目】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．
(1)求证：四边形AECF是矩形；
(2)连接OE，若cos∠BAE＝
，AB＝5，求OE的长．
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【题目】某学校共有六个年级，每个年级 10 个班，每个班约 40 名同学．该校食堂共有 10 个窗口中午所有同学都在食堂用餐．经了解，该校同学年龄分布在 12 岁（含 12 岁）到 18岁（含 18 岁）之间，平均年龄 15 岁．小天、小东两位同学，为了解全校同学对食堂各窗口餐食的喜爱情况，各自进行了抽样调查，并记录了相应同学的年龄，每人调查了 60 名同学，将收集到的数据进行了整理．
小天从初一年级每个班随机抽取 6 名同学进行调查，绘制统计图表如下：
小东从全校每个班随机抽取 1 名同学进行调查，绘制统计图表如下：
根据以上材料回答问题：
（1）写出图 2 中 m 的值 ；
（2）小天、小东两人中，哪个同学抽样调查的数据能较好地反映出该校同学对各窗口餐食的喜爱情况，并简要说明另一名同学调查的不足之处；
（3）为使每个同学在中午尽量吃到自己喜爱的餐食，学校餐食管理部门应为 窗口尽 量多的分配工作人员，理由为 ．
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【题目】2018年9月28日，重庆八中80周年校庆在渝北校区隆重举行，学校总务处购买了红，黄，蓝三种花卉装扮出甲，乙，丙，丁四种造型，其中一个甲造型需要15盆红花，10盆黄花，10盆蓝花；一个乙造型需要5盆红花，7盆黄花，6盆蓝花；一个丙造型需要7盆红花，8盆黄花，9盆蓝花；一个丁造型需要6盆红花，4盆黄花，4盆蓝花，若一个甲造型售价1800元，利润率为20%，一个乙和一个丙造型一共成本和为1830元，且一盆红花的利润率为25%，问一个丁造型的利润率为_____．
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【题目】北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为
轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】背景知识：如图，在
中，
，若
，则：
．
（1）解决问题：
如图（1），
，
，
是过点
的直线，过点
作
于点
，连接
，现尝试探究线段
、
、
之间的数量关系：过点
作
，与交于点
，易发现图中出现了一对全等三角形，即
，由此可得线段、、之间的数量关系是： ；
（2）类比探究：
将图（1）中的绕点
旋转到图（2）的位置，其它条件不变，试探究线段、、之间的数量关系，并证明；
（3）拓展应用：
将图（1）中的绕点旋转到图 （3）的位置，其它条件不变，若
，
，则
的长为 （直接写结果）．
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【题目】一个盒子中有1个红球，1个白球和2个蓝球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出1个球．
两次摸到相同颜色的球的概率；
在上面的问题中，如果从中随机摸出1个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出1个球，求两次摸到的球的颜色能配成紫色
红色与蓝色配成紫色
的概率．
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