Question

14．[x]表示不大于x的最大整数，方程[2x+1]+[3x+8]=7x+$\frac{3}{2}$的最小正数解为x=$\frac{45}{14}$．

Answer 1

分析 应用分类讨论思想，分别从当x为整数时与x不是整数去分析．在x不是整数时，首先设x=a+b（其中a为整数，b为小于1的正实数），然后分别从当0＜b＜$\frac{1}{3}$时，当$\frac{1}{3}$≤b＜$\frac{1}{2}$时，当$\frac{1}{2}$≤b＜$\frac{2}{3}$时，当$\frac{2}{3}$≤b＜1时去分析求解，注意检验，则可求得答案．

解答 解：当x为整数时，2x+1+3x+8=7x+$\frac{3}{2}$，解得x=$\frac{15}{4}$，不符合题意，故此时无解，
于是设x=a+b（其中a为整数，b为小于1的正实数），
①当0＜b＜$\frac{1}{3}$时，2a+1+3a+8=7（a+b）+$\frac{3}{2}$，
∴2a+7b=$\frac{15}{2}$，
∴0＜b＜$\frac{1}{3}$，
∴0＜b=$\frac{15}{14}$-$\frac{4a}{14}$＜$\frac{1}{3}$，
∴a=3，b=$\frac{3}{14}$，
∴x=3+$\frac{3}{14}$=$\frac{45}{14}$；
②当$\frac{1}{3}$≤b＜$\frac{1}{2}$时，2a+1+3a+1+8=7（a+b）+$\frac{3}{2}$，
∴2a+7b=$\frac{17}{2}$，b=$\frac{17}{14}$-$\frac{4a}{14}$
∴$\frac{1}{3}$≤$\frac{17}{14}$-$\frac{4a}{14}$＜$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{10}{4}$≤a＜$\frac{37}{12}$，由a是整数，得a=3，b=$\frac{5}{14}$，
x=$\frac{47}{14}$；
③当$\frac{1}{2}$≤b＜$\frac{2}{3}$时，2a+1+1+3a+1+8=7（a+b）+$\frac{3}{2}$，
∴2a+7b=$\frac{19}{2}$，b=$\frac{19}{14}$-$\frac{4a}{14}$
∴$\frac{1}{2}$≤b=$\frac{19}{14}$-$\frac{4a}{14}$＜$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{29}{12}$＜a≤3，由a是整数，得a=3，b=$\frac{1}{2}$，
x=$\frac{7}{2}$=$\frac{49}{14}$；
当$\frac{2}{3}$≤b＜1时，2a+1+1+3a+2+8=7（a+b）+$\frac{3}{2}$，
∴2a+7b=$\frac{21}{2}$，b=$\frac{21}{14}$-$\frac{4a}{14}$
∵$\frac{2}{3}$≤b=$\frac{21}{14}$-$\frac{4a}{14}$＜1，整数a不存在，x不存在；
综上所述：方程[2x+1]+[3x+8]=7x+$\frac{3}{2}$的正数解为x=$\frac{45}{14}$，x=$\frac{47}{14}$或x=$\frac{49}{14}$，
方程[2x+1]+[3x+8]=7x+$\frac{3}{2}$的最小正数解为x=$\frac{45}{14}$．
故答案为：x=$\frac{45}{14}$．

点评 此题考查了取整函数的知识，解题的关键是注意[x]≤x＜[x]+1性质的应用与分类讨论思想的应用．