Question

2．在平面直角坐标系中，坐标轴上的两个点A（a，0）、B（0，b）、（a＜0，b＞0），满足$\root{3}{a+b}$=$\sqrt{c-3}$+$\sqrt{3-c}$．
（1）c的值为3，∠ABO的度数为45°；
（2）如图1，点E是线段OB（端点除外）上一点，过点B作BF⊥AE交AE的延长线于点F，过点O作OM∥AB交BF的延长线于点M，连接EM，求证：∠BEF=∠OEM；
（3）如图2，在第四象限有一点H，满足∠HBO=2∠HAO，BH交x轴于点D，且点O在线段AH的垂直平分线上，求S_△ABD：S_△ABH的值．

Answer 1

分析 （1）根据$\root{3}{a+b}$=$\sqrt{c-3}$+$\sqrt{3-c}$，求得c=3，a=-b，得到OA=OB，即可得到结论；
（2）如图1，延长BM交x轴于G，根据平行线的性质和等量代换得到∠MOG=∠BAO=∠MOE=45°，根据余角的性质得到∠BGO=∠AEO，推出△AOE≌△BOG，由全等三角形的性质得到OE=OG，证得△MOE≌△MOG，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）连接OH，由点O在线段AH的垂直平分线上，得到OA=OH，根据等腰三角形的性质得到∠DOH=∠HAO+∠AHO=2∠HAO，推出∠BDO=∠DOH+∠OHD=2∠OHD=2∠HBO，根据直角三角形的性质得到BH=BD+DH=BD+$\frac{1}{2}BD=\frac{3}{2}BD$，即可得到结论．

解答 解：（1）∵$\root{3}{a+b}$=$\sqrt{c-3}$+$\sqrt{3-c}$，
∴c=3，a=-b，
∴OA=OB，
∵OA⊥OB，
∴∠ABO=45°；

（2）如图1，延长BM交x轴于G，
∵OM∥AB，
∴∠MOG=∠BAO=∠MOE=45°，
∵BF⊥AE，
∴∠BEF=∠AEO=90°-∠OBG=∠BGO，
∴∠BGO=∠AEO，
在△AOE与△BOG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BGO=∠AEO}\\{∠AOE=∠BOG}\\{AO=BO}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△BOG，
∴OE=OG，
在△MOE与△MOG中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OG}\\{∠EOM=∠GOM}\\{OM=OM}\end{array}\right.$，
∴△MOE≌△MOG，
∴∠OEM=∠BGO=∠BEF，

（3）如图2，连接OH，
∵点O在线段AH的垂直平分线上，
∴OA=OH，
∴∠DOH=∠HAO+∠AHO=2∠HAO，
∵∠HBO=2∠OHD，
∴∠HBO=∠DOH，
∵OA=OB，
∴OB=OH，
∴∠HBO=∠OHD，
∴∠BDO=∠DOH+∠OHD=2∠OHD=2∠HBO，
在Rt△BOD中，∠OBD=30°，∠BDO=60°，
∴$OD=\frac{1}{2}BD$，BH=BD+DH=BD+$\frac{1}{2}BD=\frac{3}{2}BD$，
∴S_△ABD：S${\;}_{△ABH}=BD：BH=BD：\frac{3}{2}BD=2：3$．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，线段的垂直平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．