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【题目】如图1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,E为射线BC上一点,DFAEF,连结DE.

(1)当E在线段BC上时

①若DE=5,求BE的长;

②若CE=EF,求证:AD=AE;

(2)连结BF,在点E的运动过程中:

①当ABF是以AB为底的等腰三角形时,求BE的长;

②记ADF的面积为S1,记DCE的面积为S2,当BFDE时,请直接写出S1:S2的值.

【答案】(1)BE=2;②证明见解析;(2)BE=2;S1S2=1

【解析】1)①在矩形 ABCD 中,∠B=DCE=90°,BC=AD=5,DC=AB=4,由勾股定理求得CE的长,即可求得BE的长;

②证明△CED≌△DEF,可得∠CED=FED,从而可得∠ADE=AED,即可得到AD=AE;

(2)①分两种情况点 E 在线段 BC 上、点 E BC 延长线上两种情况分别讨论即可得;

S1:S2=1,当 BF//DE 时,延长 BF AD G,由已知可得到四边形 BEDG 是平行四边形,继而可得SDEFS平行四边形 BEDG,S BEF+S DFG S平行四边形 BEDG,SABG=SCDE,根据面积的知差即可求得结论.

(1)①在矩形 ABCD 中,∠B=DCE=90°,

BC=AD=5,DC=AB=4,

DE=5,

CE==3,

BE=BC-CE=5-3=2;

②在矩形 ABCD 中,∠DCE=90°,AD//BC,

∴∠ADE=DEC,DCE=DFE,

CE=EF,DE=DE,

∴△CED≌△DEF(HL),

∴∠CED=FED,

∴∠ADE=AED,

AD=AE;

(2)①当点 E 在线段 BC 上时,AF=BF,如图所示:

∴∠ABF=BAF,

∵∠ABF+EBF=90°,

BAF+BEF=90°,

∴∠EBF=BEF,

EF=BF ,AF=EF,

DFAE,

DE=AD=5,

在矩形 ABCD 中,CD=AB=4,DCE=90°,

CE=3,

BE=5-3=2;

当点 E BC 延长线上时,AF=BF,如图所示

同理可证 AF=EF,

DFAE,

DE=AD=5,

在矩形 ABCD 中,CD=AB=4,DCE=90°,

CE=3,

BE=5+3=8,

综上所述,可知BE=28;

S1:S2=1,解答参考如下:

BF//DE 时,延长 BF AD G,

在矩形 ABCD 中,AD//BC,AD=BC,AB=CD,

BAG=DCE=90°,

BF//DE,

∴四边形 BEDG 是平行四边形

BE=DG,SDEFS平行四边形 BEDG

AG=CE,S BEF+S DFG S平行四边形 BEDG

∴△ABG≌△CDE,

SABG=SCDE

S ABE S平行四边形 BEDG

SABE=SBEF+SDFG

SABF=SDFG

SABF+SAFG=SDFG+SAFG SABG=SADF

SCDE=SADF,即 S1:S2=1.

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成绩

7分

8分

9分

10分

人数

11

0

8

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1

2

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11

12

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120

100


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