【题目】如图1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,E为射线BC上一点,DF⊥AE于F,连结DE.
(1)当E在线段BC上时
①若DE=5,求BE的长;
②若CE=EF,求证:AD=AE;
(2)连结BF,在点E的运动过程中:
①当△ABF是以AB为底的等腰三角形时,求BE的长;
②记△ADF的面积为S1,记△DCE的面积为S2,当BF∥DE时,请直接写出S1:S2的值.
【答案】(1)①BE=2;②证明见解析;(2)①BE=2;②S1:S2=1
【解析】(1)①在矩形 ABCD 中,∠B=∠DCE=90°,BC=AD=5,DC=AB=4,由勾股定理求得CE的长,即可求得BE的长;
②证明△CED≌△DEF,可得∠CED=∠FED,从而可得∠ADE=∠AED,即可得到AD=AE;
(2)①分两种情况点 E 在线段 BC 上、点 E 在 BC 延长线上两种情况分别讨论即可得;
②S1:S2=1,当 BF//DE 时,延长 BF 交 AD 于 G,由已知可得到四边形 BEDG 是平行四边形,继而可得S△DEF=S平行四边形 BEDG,S △BEF+S△ DFG= S平行四边形 BEDG,S△ABG=S△CDE,根据面积的知差即可求得结论.
(1)①在矩形 ABCD 中,∠B=∠DCE=90°,
BC=AD=5,DC=AB=4,
∵DE=5,
∴CE==3,
∴BE=BC-CE=5-3=2;
②在矩形 ABCD 中,∠DCE=90°,AD//BC,
∴∠ADE=∠DEC,∠DCE=∠DFE,
∵CE=EF,DE=DE,
∴△CED≌△DEF(HL),
∴∠CED=∠FED,
∴∠ADE=∠AED,
∴AD=AE;
(2)①当点 E 在线段 BC 上时,AF=BF,如图所示:
∴∠ABF=∠BAF,
∵∠ABF+∠EBF=90°,
∠BAF+∠BEF=90°,
∴∠EBF=∠BEF,
∴EF=BF ,∴AF=EF,
∵DF⊥AE,
∴DE=AD=5,
在矩形 ABCD 中,CD=AB=4,∠DCE=90°,
∴CE=3,
∴BE=5-3=2;
当点 E 在 BC 延长线上时,AF=BF,如图所示,
同理可证 AF=EF,
∵DF⊥AE,
∴DE=AD=5,
在矩形 ABCD 中,CD=AB=4,∠DCE=90°,
∴CE=3,
∴BE=5+3=8,
综上所述,可知BE=2或8;
②S1:S2=1,解答参考如下:
当 BF//DE 时,延长 BF 交 AD 于 G,
在矩形 ABCD 中,AD//BC,AD=BC,AB=CD,
∠BAG=∠DCE=90°,
∵BF//DE,
∴四边形 BEDG 是平行四边形,
∴BE=DG,S△DEF=S平行四边形 BEDG,
∴AG=CE,S △BEF+S△ DFG= S平行四边形 BEDG,
∴△ABG≌△CDE,
∴S△ABG=S△CDE,
∵S △ABE= S平行四边形 BEDG,
∴S△ABE=S△BEF+S△DFG,
∴S△ABF=S△DFG,
∴S△ABF+S△AFG=S△DFG+S△AFG即 S△ABG=S△ADF,
∴S△CDE=S△ADF,即 S1:S2=1.
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【题目】【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具,利用数轴可以将数与形完美地结 合.研究数轴我们发现了许多重要的规律:若数轴上点 A、点 B 表示的数分别为 a、b,则A、B 两点之间的距离 AB= ,线段 AB 的中点表示的数为 .
【问题情境】如图,数轴上点A表示的数为-2,点B表示的数为8,点P从点 A 出发, 以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动,同时点Q从点B出发,以每秒 2个单 位长度的速度向左匀速运动,设运动时间为t秒(t>0).
【综合运用】(1) 填空:
①A、B两点之间的距离AB=__________,线段AB的中点表示的数为_______;
②用含t的代数式表示:t秒后,点P表示的数为_______;点Q表示的数为_____.
(2) 求当t为何值时,P、Q 两点相遇,并写出相遇点所表示的数;
(3)求当t为何值时,PQ=AB;
(4)若点M为PA的中点,点N为PB的中点,点 P在运动过程中,线段MN的长度是否发 生变化?若变化,请说明理由;若不变,请求出线段MN的长.
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【题目】甲、乙两校派相同人数的优秀学生,参加县教育局举办的中小学生美文诵读决赛。比赛结束后,发现学生成绩分别是7分、8分、9分或10分(满分10分),核分员依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表。根据这些材料,请你回答下列问题:
甲校成绩统计表 | ||||
成绩 | 7分 | 8分 | 9分 | 10分 |
人数 | 11 | 0 | 8 |
(1)在图①中,“7分”所在扇形的圆心角等于_______
(2)求图②中,“8分”的人数,并请你将该统计图补充完整。
(3)经计算,乙校学生成绩的平均数是8.3分,中位数是8分。请你计算甲校学生成绩的平均数、中位数,并从平均数和中位数的角度分析哪个学校的成绩较好?
(4)如果教育局要组织8人的代表队参加市级团体赛,为便于管理,决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手,请你分析,应选哪所学校?
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【题目】现在,苏宁商场进行促销活动,出售一种优惠购物卡(注:此卡只作为购物优惠凭证不能顶替货款),花300元买这种卡后,凭卡可在这家商场按标价的8折购物.
(1)顾客购买多少元金额的商品时,买卡与不买卡花钱相等?在什么情况下购物合算?
(2)小张要买一台标价为3500元的冰箱,如何购买合算?小张能节省多少元钱?
(3)小张按合算的方案,把这台冰箱买下,如果商场还能盈利25%,这台冰箱的进价是多少元?
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【题目】小明家准备给边长为6m的正方形客厅用黑色和白色两种瓷砖铺设,如图所示:①黑色瓷砖区域Ⅰ:位于四个角的边长相同的小正方形及宽度相等的回字型边框(阴影部分),②白色瓷砖区域Ⅱ:四个全等的长方形及客厅中心的正方形(空白部分).设四个角上的小正方形的边长为x(m).
(1)当x=0.8时,若客厅中心的正方形瓷砖铺设的面积为16m2,求回字型黑色边框的宽度;
(2)若客厅中心的正方形边长为4m,白色瓷砖区域Ⅱ的总面积为26m2,求x的值.
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【题目】某厂按用户的月需求量x(件)完成一种产品的生产,其中x>0,每件的售价为18万元,每件的成本y(万元)是基础价与浮动价的和,其中基础价保持不变,浮动价与月需求量x(件)成反比,经市场调研发现,月需求量x与月份n(n为整数,1≤n≤12),符合关系式x=2n2﹣2kn+9(k+3)(k为常数),且得到了表中的数据.
月份n(月) | 1 | 2 |
成本y(万元/件) | 11 | 12 |
需求量x(件/月) | 120 | 100 |
(1)求y与x满足的关系式,请说明一件产品的利润能否是12万元;
(2)求k,并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损;
(3)在这一年12个月中,若第m个月和第(m+1)个月的利润相差最大,求m.
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【题目】根据解答过程填空(理由或数学式)
如图,已知∠1=∠2,∠D=60°,求∠B的度数.
解∵∠2=∠3( )
又∵∠1=∠2(已知),
∴∠3=∠1(等量代换)
∴ ∥ ( )
∴∠D+∠B=180°( )
又∵∠D=60°(已知),
∴∠B= .
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【题目】如图1,两个形状、大小完全相同的含有30゜和60゜的三角板如图放置,PA、PB与直线MN重合,且三角板PAC,三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转.
(1)试说明:∠DPC=90゜;
(2)如图2,若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转一定角度,PF平分∠APD,PE平分∠CPD,求∠EPF;
(3)如图3,若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转,转速为3゜/秒,同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转,转速为2゜/秒,在两个三角板旋转过程中(PC转到与PM重合时,两三角板都停止转动),以下两个结论:①为定值;②∠BPN+∠CPD为定值,请选出正确的结论,并说明理由.
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