Question

【题目】如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），作EF⊥AC交边BC于点F，联结AF、BE交于点G．
（1）求证：△CAF∽△CBE；
（2）若AE：EC=2：1，求tan∠BEF的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，

∵EF⊥AC，

∴∠FEC=90°=∠ABC，

又∵∠FCE=∠ACB，

∴△CEF∽△CAB，

∴ ，

又∵∠ACF=∠BCE，

∴△CAF∽△CBE

（2）∵△CAF∽△CBE，

∴∠CAF=∠CBE，

∵∠BAC=∠BCA=45°，

∴∠BAF=∠BEF，

设EC=1，则EF=1，FC= ，

∵AE：EC=2：1，

∴AC=3，

∴AB=BC= AC= ，

∴BF=BC﹣FC= ，

∴

【解析】（1）利用AA证明△CEF∽△CAB，再列出比例式利用SAS证明△CAF∽△CBE（2）证出∴∠BAF=∠BEF，设EC=1，则EF=1，FC= ，AC=3，由勾股定理得出AB=BC= AC= ，得出BF=BC﹣FC= ，由三角函数即可得出结果．
【考点精析】通过灵活运用正方形的性质和相似三角形的判定与性质，掌握正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形；相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方即可以解答此题．