Question

15．阅读理解题：
定义：如果一个数的平方等于-1，记为i²=-1①，这个数i叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．
如果只把i当成代数，则i将符合一切实数运算规则，但要根据①式变通来简便运算．不要把复数当成高等数学，它只是一个小学就学过的代数而已！它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．
例如计算：（2+i）+（3-4i）=（2+3）+（1-4）i=5-i；（5+i）×（3-4i）=19-17i；
同样我们也可以化简$\sqrt{-4}$=$\sqrt{4×（-1）}$=$\sqrt{{2}^{2}×{i}^{2}}$=2i；
也可以解方程x²=-1，解为x₁=i，x₂=-i．
读完这段文字，请你解答以下问题：
（1）填空：i³=-i，i⁴=1．
（2）计算：①（2+i）（2-i）；  ②（2+i）²；
（3）在复数范围内解方程：x²-x+1=0．

Answer 1

分析 （1）根据i²=-1，则i³=i²•i，i⁴=i²•i²，然后计算；
（2）根据平方差公式和完全平方公式计算，出现i²，化简为-1计算；
（3）根据一元二次方程解答即可．

解答 解：（1）∵i²=-1，
∴i³=i²•i=-1•i=-i，
i⁴=i²•i²=-1•（-1）=1，
（2）①（2+i）（2-i）=-i²+4=1+4=5；
②（2+i）²=i²+4i+4=-1+4i+4=3+4i；
（3）x²-x+1=0，解得：x=$\frac{1±\sqrt{3}i}{2}$，
故答案为：（1）-i，1．

点评 本题考查了平方差公式，完全平方公式，是信息给予题，解题步骤为：（1）阅读理解，发现信息；（2）提炼信息，发现规律；（3）运用规律，联想迁移；（4）类比推理，解答问题．