【题目】如图,已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B,抛物线过A,B两点,点P是线段AB上一动点,过点P作PC⊥x轴于点C,交抛物线于点D.
(1)若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N.
①求点M和点N的坐标;
②在抛物线的对称轴上找一点Q,使|AQ﹣BQ|的值最大,请直接写出点Q的坐标;
③是否存在点P,使四边形MNPD为菱形?并说明理由;
(2)当点P的横坐标为1时,是否存在这样的抛物线,使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,求出满足条件的抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)①N(,3);②Q(,6);③不存在,理由见解析;(4)y=﹣2x2+2x+4或y=﹣x2+3x+4.
【解析】
(1)①函数的对称轴为:x=-=,故点M(,),即可求解;
②设抛物线与x轴左侧的交点为R(-1,0),则点A与R关于抛物线的对称轴对称,连接RB并延长交抛物线的对称轴于点Q,则点Q为所求,即可求解;
③四边形MNPD为菱形,首先PD=MN,即(-2x2+2x+4)-(-2x+4)=,解得:x=或(舍去),故点P(,1),而PN==≠MN,即可求解;
(2)分∠DBP为直角、∠BDP为直角两种情况,分别求解即可.
(1)①函数的对称轴为:x=﹣=,故点M(,),
当x=时,y=﹣2x+4=3,故点N(,3);
②设抛物线与x轴左侧的交点为R(﹣1,0),则点A与R关于抛物线的对称轴对称,
连接RB并延长交抛物线的对称轴于点Q,则点Q为所求,
将R、B的坐标代入一次函数表达式:y=kx+b并解得:
直线RB的表达式为:y=4x+4,
当x=时,y=6,
故点Q(,6);
③不存在,理由:
设点P(x,﹣2x+4),则点D(x,﹣2x2+2x+4),
MN=﹣3=,
四边形MNPD为菱形,首先PD=MN,
即(﹣2x2+2x+4)﹣(﹣2x+4)=,解得:x=或(舍去),
故点P(,1),而PN==≠MN,
故不存在点P,使四边形MNPD为菱形;
(2)当点P的横坐标为1时,则其坐标为:(1,2),此时点A、B的坐标分别为:(2,0)、(0,4),
①当∠DBP为直角时,以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似,
则∠BAO=∠BDP=α,tan∠BAO==2=tanα,则sinα=,
PA=,PB=AB﹣PA=2﹣=,
则PD==,故点D(1,);
②当∠BDP为直角时,以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似,
则BD∥x轴,则点B、D关于抛物线的对称轴对称,故点D(1,4),
综上,点D的坐标为:(1,4)或(1,),
将点A、B、D的坐标代入抛物线表达式:y=ax2+bx+c,
解得:y=﹣2x2+2x+4或y=﹣x2+3x+4.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】“五一”期间,小华和妈妈到某景区游玩,小明想利用所学的数学知识,估测景区里的观景塔的高度,他从点处的观景塔出来走到点处.沿着斜坡从点走了米到达点,此时回望观景塔,更显气势宏伟.在点观察到观景塔顶端的仰角为且,再往前走到处,观察到观景塔顶端的仰角,测得之间的水平距离米,则观景塔的高度约为( ) 米. ()
A.B.C.D.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,点P在y轴的正半轴上,⊙P交x轴于B、C两点,以AC为直角边作等腰Rt△ACD,BD分别交y轴和⊙P于E、F两点,连接AC、FC.
(1)求证:∠ACF=∠ADB;
(2)若点A到BD的距离为m,BF+CF=n,求线段CD的长;
(3)当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时,的值是否发生变化?若不发生变化,请求出其值;若发生变化,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,△ABC中,∠ACB=90°,sinA=,BC=8,点D是AB的中点,过点B作CD的垂线,垂足为点E.
(1)求线段CD的长;
(2)求cos∠ABE的值。
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,斜边AB=4,O是AB的中点,以O为圆心,线段OC的长为半径画圆心角为90°的扇形OEF, 经过点C,则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图所示,在平面直角坐标系中,把矩形OCBA绕点C顺时针旋转α角,得到矩形FCDE,设FC与AB交于点H,且A(0,4),C(6,0).
(1)当α=45°时,求H点的坐标.
(2)当α=60°时,ΔCBD是什么特殊的三角形?说明理由.
(3)当AH=HC时,求直线HC的解析式.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在Rt中,,点为边上一个动点,过点作交边于,过点作射线交边于点,交射线于点,联结.设两点的距离为,两点的距离为.
(1)求证:;
(2)求关于的函数解析式,并写出的取值范围;
(3)点在运动过程中,能否构成等腰三角形?如果能,请直接写出的长,如果不能,请简要说明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com