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【题目】如图,已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点AB,抛物线过AB两点,点P是线段AB上一动点,过点PPCx轴于点C,交抛物线于点D

1)若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N

求点M和点N的坐标;

在抛物线的对称轴上找一点Q,使|AQBQ|的值最大,请直接写出点Q的坐标;

是否存在点P,使四边形MNPD为菱形?并说明理由;

2)当点P的横坐标为1时,是否存在这样的抛物线,使得以BPD为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,求出满足条件的抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)①N3);②Q6);③不存在,理由见解析;(4)y=﹣2x2+2x+4y=﹣x2+3x+4

【解析】

1)①函数的对称轴为:x=-=,故点M),即可求解;

②设抛物线与x轴左侧的交点为R-10),则点AR关于抛物线的对称轴对称,连接RB并延长交抛物线的对称轴于点Q,则点Q为所求,即可求解;

③四边形MNPD为菱形,首先PD=MN,即(-2x2+2x+4--2x+4=,解得:x=(舍去),故点P1),而PN==≠MN,即可求解;

2)分∠DBP为直角、∠BDP为直角两种情况,分别求解即可.

1)①函数的对称轴为:x=﹣,故点M),

x时,y=﹣2x+43,故点N3);

②设抛物线与x轴左侧的交点为R(﹣10),则点AR关于抛物线的对称轴对称,

连接RB并延长交抛物线的对称轴于点Q,则点Q为所求,

RB的坐标代入一次函数表达式:ykx+b并解得:

直线RB的表达式为:y4x+4

x时,y6

故点Q6);

③不存在,理由:

设点Px,﹣2x+4),则点Dx,﹣2x2+2x+4),

MN3

四边形MNPD为菱形,首先PDMN

即(﹣2x2+2x+4)﹣(﹣2x+4)=,解得:x(舍去),

故点P1),而PN=≠MN

故不存在点P,使四边形MNPD为菱形;

2)当点P的横坐标为1时,则其坐标为:(12),此时点AB的坐标分别为:(20)、(04),

①当∠DBP为直角时,以BPD为顶点的三角形与AOB相似,

则∠BAO=∠BDPαtanBAO2tanα,则sinα

PAPBABPA2

PD,故点D1);

②当∠BDP为直角时,以BPD为顶点的三角形与AOB相似,

BDx轴,则点BD关于抛物线的对称轴对称,故点D14),

综上,点D的坐标为:(14)或(1),

将点ABD的坐标代入抛物线表达式:yax2+bx+c

解得:y=﹣2x2+2x+4y=﹣x2+3x+4

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