【题目】如图,在Rt中,
,点
为
边上一个动点,过点
作
交边
于
,过点
作射线
交
边于点
,交射线
于点
,联结
.设
两点的距离为
,
两点的距离为
.
(1)求证:;
(2)求关于
的函数解析式,并写出
的取值范围;
(3)点在运动过程中,
能否构成等腰三角形?如果能,请直接写出
的长,如果不能,请简要说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)y=2x-6(3≤x≤12);(3)能,3或6-6或6
【解析】
(1)根据三角形的内角和定理先得∠B=60°,证明△BED是等边三角形,根据等角对等边分别证明DE=DG,BD=ED,可得结论;
(2)先得BC=6,根据直角三角形30度角的性质可得结论;
(3)分三种情况:①当ED=DF时,当F与C重合时,如图2,BE=BC=3;②当ED=EF时,如图3,根据直角三角形30度角的性质或三角函数列等式可得结论;③当EF=DF时,C与D重合,如图4,此时BE=BC=6;
(1)证明:如图1,
Rt△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,
∴∠B=60°,
∵∠BDE=∠B=60°,
∴∠BED=60°,
∴△BED是等边三角形,
∴BD=ED,
∵EF⊥AB,
∴∠BEF=90°,
∴∠DEG=30°,
∵∠EDB=∠DEG+∠DGE,
∴∠DGE=60°-30°=30°=∠DEF,
∴DE=DG,
∴BD=DG;
(2)解:如图1,Rt△ABC中,∠A=30°,∠C=90°,AB=12,
∴BC=6,
Rt△BEG中,∠G=30°,
∴BG=2BE,
∵BE两点的距离为x,CG两点的距离为y,
∴6+y=2x,y=2x-6(3≤x≤12);
(3)解:分三种情况:
①当ED=DF时,当F与C重合时,如图2,BE=BC=3;
②当ED=EF时,如图3,
BE=ED=EF=x,
∴AE=12-x,
Rt△AEF中,tan∠A=,
∵∠A=30°,
∴,
∴x=6-6,
∴BE=6-6;
③当EF=DF时,C与D重合,如图4,此时BE=BC=6;
综上,当△DEF构成等腰三角形时,BE的长为3或6-6或6,
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【题目】如图,已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B,抛物线过A,B两点,点P是线段AB上一动点,过点P作PC⊥x轴于点C,交抛物线于点D.
(1)若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N.
①求点M和点N的坐标;
②在抛物线的对称轴上找一点Q,使|AQ﹣BQ|的值最大,请直接写出点Q的坐标;
③是否存在点P,使四边形MNPD为菱形?并说明理由;
(2)当点P的横坐标为1时,是否存在这样的抛物线,使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,求出满足条件的抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=2,将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE,将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED,分别以O,E为圆心,OA、ED长为半径画弧AF和弧DF,连接AD,则图中阴影部分面积是( )
A. π B. C. 3+π D. 8﹣π
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【题目】如图,直线与
轴交于点
,与
轴交于点
,抛物线
经过
、
两点.
①求点的坐标;
②求抛物线的解析式;
③如图,点是直线
上方抛物线上的一动点,当
面积最大时,请求出点
的坐标和
面积的最大值.
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【题目】已知关于x的一元二次方程x2-(2m+1)x+m2+m=0.
(1)求证:该一元二次方程总有两个不相等的实数根;
(2)若该方程的两根x1、x2是某个等腰三角形的两边长,且该三角形的周长为10,试求m的值.
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【题目】动画片《小猪佩奇》风靡全球,受到孩子们的喜爱,现有4张(小猪佩奇)角色卡片,分别是A佩奇.B乔治.C佩奇妈妈.D佩奇爸爸(四张卡片除字母和内容外,其余完全相同)姐弟两人做游戏,他们讲这四张卡片混在一起,背面朝上放好.
(1)姐姐从中随机抽取一张,求恰好抽到A佩奇的概率;
(2)若两人分别随机抽取一张卡片(不放回),请用列表或画树状图的方法求出恰好姐姐抽到A佩奇,弟弟抽到B乔治的概率.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),B(1﹣a,0),C(1+a,0)(a>0),点P在以D(4,4)为圆心,1为半径的圆上运动,且始终满足∠BPC=90°,则a的最大值是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
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【题目】在正方形ABCD中,有一直径为CD的半圆,圆心为点O,CD=2,现有两点E、F,分别从点A、点C同时出发,点E沿线段AD以每秒1个单位长度的速度向点D运动,点F沿线段CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动,当点F运动到点B时,点E也随之停止运动.设点E离开点A的时间为t(s),回答下列问题:
(1)如图①,根据下列条件,分别求出t的值.
①EF与半圆相切;
②△EOF是等腰三角形.
(2)如图②,点P是EF的中点,Q是半圆上一点,请直接写出PQ+OQ的最小值与最大值.
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