[题目]如图.在中....点O是AB的三等分点.半圆O与AC相切.M.N分别是BC与半圆弧上的动点.则MN的最小值和最大值之和是( )A. 5B. 6C. 7D. 8 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，在中，，，，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（）

A. 5B. 6C. 7D. 8

【答案】B

【解析】

设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，根据图形与圆的性质即可求解.

如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作垂足为P交⊙O于F，

此时垂线段OP最短，PF最小值为，

∵，，

∴

∵，

∴

∵点O是AB的三等分点，

∴，，

∴，

∵⊙O与AC相切于点D，

∴，

∴MN最小值为，

如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，

MN最大值，

∴MN长的最大值与最小值的和是6．

故选：B．

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