Question

【题目】如图，抛物线经点，与轴相交于点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)定义：平面上的任一点到二次函数图象上与它横坐标相同的点的距离，称为点到二次函数图象的垂直距离．如：点到二次函数图象的垂直距离是线段的长．已知点为抛物线对称轴上的一点，且在轴上方，点为平面内一点，当以为顶点的四边形是边长为4的菱形时，请求出点到二次函数图象的垂直距离．

(3)在(2)中，当点到二次函数图象的垂直距离最小时，在为顶点的菱形内部是否存在点，使得之和最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)；(2)或；(3)的和最小值为．

【解析】

（1）利用待定系数法列方程组求出a、b的值即可；（2）根据抛物线解析式可求出A、B两点坐标，即可得出对称轴解析式，分两种情况：当以AB为边时，EF//AB，由对称轴可得E点的横坐标，根据EF=AB=4即可得出F点的横坐标，根据菱形的性质求出EM的长，把F点横坐标代入抛物线解析式，根据点到二次函数图象的垂直距离的定义即可得出答案；当以AB为菱形对角线时，根据菱形的性质可得AB⊥EF，利用勾股定理可求出FM的长，进而可得F点坐标，把F点横坐标代入抛物线解析式，根据点到二次函数图象的垂直距离的定义即可得出答案；（3）由当时，点到二次函数图象的垂直距离最小，将绕点逆时针旋转到位置，连接，作于，根据AB=AF=BF可证明△ABF是等边三角形，根据旋转性质可知均为等边三角形，进而可得当共线时的和最短，在Rt△APN中，利用勾股定理求出AN的长即可得答案.

(1)∵抛物线过点，

∴

解得

∴解析式.

(2)当时，由，得，

对称轴所在直线为，顶点坐标为，

∵抛物线与轴相交于点．

∴

①若为菱形的边，如图1，则，且的横坐标为3

∴的横坐标为7或-1，

∵，

∴

∴或，

当，

∴点到二次函数图象的垂直距离为，

当x=-1时，y=×(-1)2-(-1)×3+=6，

∴点到二次函数图象的垂直距离为.

②若为对角线，如图2，

∵是菱形，，

∴EM=FM==

∴，

当x=3时，y=×32-3×3+=-2，

∴点到二次函数图象的垂直距离为=-2，

综上所述：点到二次函数图象的垂直距离为或-2.

(3)当时，点到二次函数图象的垂直距离最小，如图3，将绕点逆时针旋转到位置，连接，作于，

∵AB=4，AF=BF=4，

∴△ABF是等边三角形，

∵将绕逆时针旋转到位置，

∴≌，且均为等边三角形，

∴，

∵，

∴当共线时的和最短，即最短值为的长．

∵，

∴且，

∴，

∴，

在中，，

∴的和最小值为．