Question

【题目】在正方形中，是边上一点，

（1）将绕点按顺时针方向旋转。使、重合，得到，如图（a）所示．观察可知：与相等的线段是__________，__________．

（2）如图（b）所示，正方形中，、分别是、边上的点，且，试通过旋转的方式说明：．

（3）在（2）的条件下，连接分别交、于点、，如图（c）所示．判断、、之间的关系，直接写出结论．

Answer 1

【答案】（1），；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）如图(a)，直接根据旋转的性质得到DE=BF，∠AFB=∠AED；

（2）将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABE，根据旋转的性质得∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ，BE=DQ，而∠PAQ=45°，则∠PAE=45°，再根据全等三角形的判定方法得到△APE≌△APQ，则PE=PQ，于是PE=PB+BE=PB+DQ，即可得到DQ+BP=PQ；

（3）根据正方形的性质有∠ABD=∠ADB=45°，将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABK，根据旋转的性质得∠ABK=∠ADN=45°，BK=DN，AK=AN，与（2）一样可证明△AMN≌△AMK得到MN=MK，由于∠MBK=∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°，得到△BMK为直角三角形，根据勾股定理得BK2+BM2=MK2，然后利用等相等代换即可得到BM2+DN2=MN2．

（1）如图(a)．

∵△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF．

∵DE=BF，∠AFB=∠AED．

故答案为：BF，AED；

（2）将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABE，如图2，

则∠D=∠ABE=90°，即点E、B、P共线，∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ，BE=DQ．

∵∠PAQ=45°，

∴∠PAE=45°，

∴∠PAQ=∠PAE，

在△APE和△APQ中，

∵，

∴△APE≌△APQ(SAS)，

∴PE=PQ，

而PE=PB+BE=PB+DQ，

∴DQ+BP=PQ；

（3）BM2+DN2=MN2．证明如下：

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠ABD=∠ADB=45°，

如图3，将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABK，

则∠ABK=∠ADN=45°，BK=DN，AK=AN，

与（2）一样可证明△AMN≌△AMK，得到MN=MK．

∵∠MBK=∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°，

∴△BMK为直角三角形，

∴BK2+BM2=MK2，

∴BM2+DN2=MN2．