Question

【题目】如图①,AB是圆O的一条弦,点C是优弧 上一点.

(1)若∠ACB=45°,点P是O上一点(不与A.B重合)，则∠APB=___；

(2)如图②,若点P是弦AB与所围成的弓形区域(不含弦AB与)内一点.求证：∠APB>∠ACB；

(3)请在图③中直接用阴影部分表示出在弦AB与所围成的弓形区域内满足

的点P所在的范围；

（4）在（1）的条件下，以PB为边，向右作等腰直角三角形PBQ，连结AQ，如图4，已知AB=2，

①当点Q在线段AB的延长线上时，线段AQ的长为____________

②线段AQ的最小值为_____________

Answer 1

【答案】（1）45°或135°；（2）答案见详解；（3）答案见详解；（4）① 4；②

【解析】

（1）根据题意，点P在优弧 上时，∠APB=∠ACB=45°；当点P在劣弧 上时，∠APB=180°-∠ACB=135°；

（2）延长AP交圆O于点Q，连接BQ，根据三角形的外角大于任何一个与它不相邻的内角，可以得证；

（3）根据第（2）问和圆周角定理可知，画出过点A、B、O的圆，即可得到点P所在的阴影部分；

（4）①根据题意可知， 是等腰直角三角形，点Q在线段AB的延长线上时，点P只能在优弧上，且，证明是等腰直角三角形即可得解；

②根据题意，连接PA，设PQ交于点T，连接AT,BT，可得AT是 的直径，即是等腰直角三角形，AB=BT=2，以BT为底向右作等腰RtBKT，则KT=KB=,由∠BQT=45°，可得点Q的运动轨迹是以K为圆心，KT为半径的圆；求出AK的值为，最后根据三角形三边长的关系，即可得到AQ的最小值.

（1）如图①所示，

第一种情况：点P在优弧 上时，∠AP1B=∠ACB=45°；

第二种情况：点P在劣弧 上时，

∵四边形ACBP2是圆的内接四边形，

∴

∴∠AP2B=180°-∠ACB=135°，

故答案为：45°或135°；

（2）如图②所示，延长AP交圆O于点Q，连接BQ，则，

∵

∴∠APB＞∠PQB，即∠APB＞∠ACB；

（3）连接AO，BO，作的外接圆，即可得到所求的阴影部分；

（4）①如图：

∵ 是等腰直角三角形，点Q在线段AB的延长线上，

∴点P只能在优弧上，且，

连接AP，

∵，，

∴ ，

∴是等腰直角三角形，

∴；

②如图，连接PA，设PQ交于点T，连接AT，BT.

∵∠APB=∠BPQ=45°，

∴∠APT=90°，

∵∠TAB=∠BPQ=45°，∠ABT=90°,

∴AB=BT=2，

以BT为底边向右作等腰RtBKT，则KT=KB=，

∵∠BQT=45°，

∴点Q的运动轨迹是以K为圆心，KT为半径的圆，KQ=KT=KB=

作KM⊥BA交AB的延长线于点M，连接AK，MB=KM=1，AM=3，

∴，

∵,

∴ ,

∴AQ的最小值是.