Question

【题目】如图，A（0，4）是直角坐标系y轴上一点，动点P从原点O出发，沿x轴正半轴运动，速度为每秒1个单位长度，以P为直角顶点在第一象限内作等腰Rt△APB．设P点的运动时间为t秒．

（1）若AB//x轴，如图一，求t的值；

（2）当t=3时，坐标平面内有一点M（不与A重合），使得以M、P、B为顶点的三角形和△ABP全等，请直接写出点M的坐标；

（3）设点A关于x轴的对称点为,连接，在点P运动的过程中，∠的度数是否会发生变化，若不变，请求出∠的度数，若改变，请说明理由。

Answer 1

【答案】（1）4； （2）（4，7）, （6，-4）, （10，-1）；（3）45°

【解析】试题分析： 由轴，可找出四边形为长方形，再根据 为等腰三角形可得知 从而得出为等腰直角三角形，由此得出结论；
由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可得出结论，注意分类讨论；
由等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质即可得出结论．

试题解析：（1）过点B作BC⊥x轴于点C，如图1所示．

∵AO⊥x轴，BC⊥x轴，且AB//x轴，

∴四边形ABCO为长方形，

∴AO=BC=4．

∵△APB为等腰直角三角形，

∴AP=BP，∠PAB=∠PBA=45°，

∴∠OAP=90°﹣∠PAB=45°，

∴△AOP为等腰直角三角形，

∴OA=OP=4．

t=4÷1=4（秒），

故t的值为4．

（2）点M的坐标为（4，7）, （6，-4）, （10，-1）

（3）答：

∵△APB为等腰直角三角形，

∴∠APO+∠BPC=180°﹣90°=90°．

又∵∠PAO+∠APO=90°，

∴∠PAO=∠BPC．

在△PAO和△BPC中，

∴△PAO≌△BPC，

∴AO=PC，BC=PO．

∵点A（0，4），点P（t，0）

∴PC=AO=4，BC=PO=t，CO=PC+PO=4+ t

∴点

∴过点作轴于点，

为等腰直角三角形.

∴∠=45°.