Question

17．如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CH⊥AB于H，且交BD于点F，DE⊥AB于E，四边形CDEF是菱形吗？请说明理由．

Answer 1

分析 利用“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”证明四边形CDEF是菱形．即先证明CD=DE，再证明四边形CDEF为平行四边形．

解答 解：四边形CDEF是菱形．理由如下：
∵△ABC中，∠ACB=90°，
∴DC⊥CB，
又∵DE⊥AB于E，且∠ABC的平分线BD交AC于点D，
∴CD=DE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）
在△CBD与△EBD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠BED=90°}\\{∠CBD=∠EBD（角平分线的性质）}\\{BD=BD（公共边相等）}\end{array}\right.$
∴△CBD≌△EBD
∴∠CDF=∠EDF
又在△CDF与△EDF中，$\left\{\begin{array}{l}{CD=DE}\\{∠CDF=∠EDF}\\{FD=FD}\end{array}\right.$
∴△CDF≌△EDF
∴∠FCD=∠FED
又CH⊥AB于H，且交BD于点F，DE⊥AB于E，
∴CF∥DE，∠HFE=∠FED，
∴∠HFE=∠FCD
∴EF∥CD
∴四边形CDEF是平行四边形，
又CD=DE
∴四边形CDEF是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）

点评 本题考查了角平分线的性质、菱形的判定等知识点，解题的关键是要掌握菱形的判定方法与角平分线的性质等知识要点的综合应用．