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【题目】(性质探究)

如图,在矩形ABCD中,对角线ACBD相交于点OAE平分∠BAC,交BC于点E.作DFAE于点H,分别交ABAC于点FG

1)判断△AFG的形状并说明理由.

2)求证:BF=2OG

(迁移应用)

3)记△DGO的面积为S1,△DBF的面积为S2,当时,求的值.

(拓展延伸)

4)若DF交射线AB于点F,(性质探究)中的其余条件不变,连结EF,当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时,请直接写出tanBAE的值.

【答案】1)等腰三角形,理由见解析;(2)见解析;(3;(4

【解析】

1)如图1中,△AFG是等腰三角形,利用全等三角形的性质证明即可.

2)如图2中,过点OOLABDFL,则∠AFG=OLG.首先证明OG=OL,再证明BF=2OL即可解决问题.

3)如图3中,过点DDKACK,则∠DKA=CDA=90°,利用相似三角形的性质解决问题即可.

4)设OG=aAG=k.分两种情形:①如图4中,连接EF,当点F在线段AB上时,点GOA上.②如图5中,当点FAB的延长线上时,点G在线段OC上,连接EF.分别求解即可解决问题.

1)解:如图1中,△AFG是等腰三角形.

理由:∵AE平分∠BAC

∴∠1=2

DFAE

∴∠AHF=AHG=90°

AH=AH

∴△AHF≌△AHGASA),

AF=AG

∴△AFG是等腰三角形.

2)证明:如图2中,过点OOLABDFL,则∠AFG=OLG

AF=AG

∴∠AFG=AGF

∵∠AGF=OGL

∴∠OGL=OLG

OG=OL

OLAB

∴△DLO∽△DFB

∵四边形ABCD是矩形,

BD=2OD

BF=2OL

BF=2OG

3)解:如图3中,过点DDKACK,则∠DKA=CDA=90°

∵∠DAK=CAD

∴△ADK∽△ACD

S1=OGDKS2=BFAD

又∵BF=2OG

,设CD=2xAC=3x,则AD=

4)解:设OG=aAG=k

①如图4中,连接EF,当点F在线段AB上时,点GOA上.

AF=AGBF=2OG

AF=AG=kBF=2a

AB=k+2aAC=2k+a),

AD2=AC2CD2=[2k+a]2﹣(k+2a2=3k2+4ka

∵∠ABE=DAF=90°,∠BAE=ADF

∴△ABE∽△DAF

由题意:=ADk+2a),

AD2=10ka

10ka=3k2+4ka

k=2a

AD=

BE= = AB=4a

tanBAE=

②如图5中,当点FAB的延长线上时,点G在线段OC上,连接EF

AF=AGBF=2OG

AF=AG=kBF=2a

AB=k2aAC=2ka),

AD2=AC2CD2=[2ka]2﹣(k2a2=3k24ka

∵∠ABE=DAF=90°,∠BAE=ADF

∴△ABE∽△DAF

由题意:=ADk2a),

AD2=10ka

10ka=3k24ka

k=

AD=

AB=

tanBAE=

综上所述,tanBAE的值为

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50

60

70

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100

80

60

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