【题目】(性质探究)
如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AE平分∠BAC,交BC于点E.作DF⊥AE于点H,分别交AB,AC于点F,G.
(1)判断△AFG的形状并说明理由.
(2)求证:BF=2OG.
(迁移应用)
(3)记△DGO的面积为S1,△DBF的面积为S2,当时,求的值.
(拓展延伸)
(4)若DF交射线AB于点F,(性质探究)中的其余条件不变,连结EF,当△BEF的面积为矩形ABCD面积的时,请直接写出tan∠BAE的值.
【答案】(1)等腰三角形,理由见解析;(2)见解析;(3);(4)或
【解析】
(1)如图1中,△AFG是等腰三角形,利用全等三角形的性质证明即可.
(2)如图2中,过点O作OL∥AB交DF于L,则∠AFG=∠OLG.首先证明OG=OL,再证明BF=2OL即可解决问题.
(3)如图3中,过点D作DK⊥AC于K,则∠DKA=∠CDA=90°,利用相似三角形的性质解决问题即可.
(4)设OG=a,AG=k.分两种情形:①如图4中,连接EF,当点F在线段AB上时,点G在OA上.②如图5中,当点F在AB的延长线上时,点G在线段OC上,连接EF.分别求解即可解决问题.
(1)解:如图1中,△AFG是等腰三角形.
理由:∵AE平分∠BAC,
∴∠1=∠2,
∵DF⊥AE,
∴∠AHF=∠AHG=90°,
∵AH=AH,
∴△AHF≌△AHG(ASA),
∴AF=AG,
∴△AFG是等腰三角形.
(2)证明:如图2中,过点O作OL∥AB交DF于L,则∠AFG=∠OLG.
∵AF=AG,
∴∠AFG=∠AGF,
∵∠AGF=∠OGL,
∴∠OGL=∠OLG,
∴OG=OL,
∵OL∥AB,
∴△DLO∽△DFB,
∴,
∵四边形ABCD是矩形,
∴BD=2OD,
∴BF=2OL,
∴BF=2OG.
(3)解:如图3中,过点D作DK⊥AC于K,则∠DKA=∠CDA=90°,
∵∠DAK=∠CAD,
∴△ADK∽△ACD,
∴,
∵S1=OGDK,S2=BFAD,
又∵BF=2OG,,
∴,设CD=2x,AC=3x,则AD= ,
∴.
(4)解:设OG=a,AG=k.
①如图4中,连接EF,当点F在线段AB上时,点G在OA上.
∵AF=AG,BF=2OG,
∴AF=AG=k,BF=2a,
∴AB=k+2a,AC=2(k+a),
∴AD2=AC2﹣CD2=[2(k+a)]2﹣(k+2a)2=3k2+4ka,
∵∠ABE=∠DAF=90°,∠BAE=∠ADF,
∴△ABE∽△DAF,
∴,
∴,
∴,
由题意:=AD(k+2a),
∴AD2=10ka,
即10ka=3k2+4ka,
∴k=2a,
∴AD= ,
∴BE= = ,AB=4a,
∴tan∠BAE= .
②如图5中,当点F在AB的延长线上时,点G在线段OC上,连接EF.
∵AF=AG,BF=2OG,
∴AF=AG=k,BF=2a,
∴AB=k﹣2a,AC=2(k﹣a),
∴AD2=AC2﹣CD2=[2(k﹣a)]2﹣(k﹣2a)2=3k2﹣4ka,
∵∠ABE=∠DAF=90°,∠BAE=∠ADF,
∴△ABE∽△DAF,
∴,
∴,
∴ ,
由题意:=AD(k﹣2a),
∴AD2=10ka,
即10ka=3k2﹣4ka,
∴k= ,
∴AD= ,
∴,AB= ,
∴tan∠BAE= ,
综上所述,tan∠BAE的值为或.
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【题目】某超市销售一种商品,成本每千克40元,规定每千克售价不低于成本,且不高于80元,经市场调查,每天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系,部分数据如下表:
售价x(元/千克) | 50 | 60 | 70 |
销售量y(千克) | 100 | 80 | 60 |
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)设商品每天的总利润为W(元),则当售价x定为多少元时,厂商每天能获得最大利润?最大利润是多少?
(3)如果超市要获得每天不低于1350元的利润,且符合超市自己的规定,那么该商品每千克售价的取值范围是多少?请说明理由.
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【题目】如图,有一张矩形纸条ABCD,AB=5cm,BC=2cm,点M,N分别在边AB,CD上,CN=1cm.现将四边形BCNM沿MN折叠,使点B,C分别落在点B',C'上.当点B'恰好落在边CD上时,线段BM的长为_____cm;在点M从点A运动到点B的过程中,若边MB'与边CD交于点E,则点E相应运动的路径长为_____cm.
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【题目】图1是由七根连杆链接而成的机械装置,图2是其示意图.已知O,P两点固定,连杆PA=PC=140cm,AB=BC=CQ=QA=60cm,OQ=50cm,O,P两点间距与OQ长度相等.当OQ绕点O转动时,点A,B,C的位置随之改变,点B恰好在线段MN上来回运动.当点B运动至点M或N时,点A,C重合,点P,Q,A,B在同一直线上(如图3).
(1)点P到MN的距离为_____cm.
(2)当点P,O,A在同一直线上时,点Q到MN的距离为_____cm.
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【题目】如图,已知动点A在函数的图象上,AB⊥x轴于点B,AC⊥y轴于点C,延长CA交以A为圆心AB长为半径的圆弧于点E,延长BA交以A为圆心AC长为半径的圆弧于点F,直线EF分别交x轴、y轴于点M、N,当NF=4EM时,图中阴影部分的面积等于_____.
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,∠CBG=∠A,CD为直径,OC与AB相交于点E,过点E作EF⊥BC,垂足为F,延长CD交GB的延长线于点P,连接BD.
(1)求证:PG与⊙O相切;
(2)若=,求的值;
(3)在(2)的条件下,若⊙O的半径为8,PD=OD,求OE的长.
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【题目】甲、乙两车沿同一条道路从地出发向1200外的地输送紧急物资,甲在途中休息了3小时,休息前后的速度不同,最后两车同时到达地,如图甲、乙两车到地的距离(千米)与乙车行驶时间(小时)之间的函数图象.
(1)甲车休息前的行驶速度为 千米/时,乙车的速度为 千米/时;
(2)当9≤≤15,求甲车的行驶路程与之间的函数关系式;
(3)直接写出甲出发多长时间与乙在途中相遇.
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