Question

如图1，AB是半⊙O的直径，过A、B两点作半⊙O的弦，当两弦交点恰好落在半⊙O上C点时，则有AC•AC+BC•BC=AB²

（1）如图2，若两弦交于点P在半⊙O内，则AP•AC+BP•BD=AB²是否成立？请说明理由；
（2）如图3，若两弦AC、BD的延长线交于P点，则AB²=

 

．参照（1）填写相应的，并证明你填写结论的正确性．

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）连结AD、BC，作PE⊥AB于E，如图2，根据圆周角定理由AB为直径得到∠D=∠C=90°，再由OE⊥AB得到∠PEA=∠PEB=90°，则可判断点A、E、P、D四点共圆；点B、E、P、C四点共圆，根据切割线定理得到BE•BA=BP•BD，AE•AB=AP•AC，把两式相加得AP•AC+BP•BD=AE•AB+BE•BA=AB（AE+BE）=AB²；
（2）BC与AD相交于E，如图3，根据圆周角定理得∠ADB=∠ACB=90°，则点C、E、D、P四点共圆，根据切割线定理得到BE•BC=BP•BD，AE•AD=AP•AC，则AP•AC+BP•BD=AE•AD+BE•BC，然后利用（1）的结论即可得到AB²=AP•AC+BP•BD．

解答：解：（1）成立．理由如下：
连结AD、BC，作PE⊥AB于E，如图2，
∵AB为直径，
∴∠D=∠C=90°，
∵OE⊥AB，
∴∠PEA=∠PEB=90°，
∴点D、E在以AP为直径的圆上，即点A、E、P、D四点共圆；点C、E在以BP为直径的圆上，即点B、E、P、C四点共圆，
∴BE•BA=BP•BD，AE•AB=AP•AC，
∴AP•AC+BP•BD=AE•AB+BE•BA=AB（AE+BE）=AB•AB=AB²；
（2）AB²=AP•AC+BP•BD．理由如下：
BC与AD相交于E，如图3，
∵AB为直径，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∴点C、E、D、P四点共圆，
∴BE•BC=BP•BD，AE•AD=AP•AC，
∴AP•AC+BP•BD=AE•AD+BE•BC，
由（1）的结论得AE•AD+BE•BC=AB²，
∴AB²=AP•AC+BP•BD．
故答案为AP•AC+BP•BD．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理、四点共圆的判定方法和切割线定理；学会由特殊到一般的解决问题的思想方法．