Question

过梯形ABCD对角线的交点M，作底AB的平行线分别交两腰于P和Q，AP=2PD，求：图中的位似图形，并分别指出位似中心和位似比．

Answer 1

考点：位似变换

专题：常规题型

分析：由于PM∥AB∥CD，根据相似三角形的判定易得△DPM∽△DAB，△CQM∽△CBA，△APM∽△ADC，△BQM∽△BCD，再利用相似的性质求出它们的相似比，
然后根据位似图形、位似中心和位似比可判断△DPM和△DAB是位似图形，点D为位似中心，位似比为

1

3

；△CMQ和△CAB是位似图形，点C为位似中心，位似比为

1

3

；△APM和△ADC是位似图形，点A为位似中心，位似比为

2

3

；△BMQ和△BDC是位似图形，点B为位似中心，位似比为

2

3

；△MCD和△MAB是位似图形，点M为位似中心，位似比为

1

2

．

解答：解：∵PM∥AB，
∴△DPM∽△DAB，相似比=

PD

DA

=

PD

PD+AP

=

1

3

，
同理可得△CQM∽△CBA，相似比=

1

3

，
∵PM∥CD，
∴△APM∽△ADC，相似比=

AP

AD

=

2

3

，
同理可得△BQM∽△BCD，相似比=

2

3

，
∵四边形ABCD为梯形，
∴CD∥AB，
∴△MCD∽△MAB，
∵PM∥CD，
∴

PM

CD

=

AP

AD

=

2

3

，
∵PM∥AB，
∴

PM

AB

=

1

3

，
∴

CD

AB

=

1

2

，
∴△DPM和△DAB是位似图形，点D为位似中心，位似比为

1

3

；
△CMQ和△CAB是位似图形，点C为位似中心，位似比为

1

3

；
△APM和△ADC是位似图形，点A为位似中心，位似比为

2

3

；
△BMQ和△BDC是位似图形，点B为位似中心，位似比为

2

3

；
△MCD和△MAB是位似图形，点M为位似中心，位似比为

1

2

．

点评：本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行．