Question

【题目】在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,D,E分别是边AB,AC上的两个动点(D不与A,B重合),且保持DE∥BC，以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG.

(1)当FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；

(2)设AD=x，△ABC与正方形DEFG重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

(3)当△BDG是等腰三角形时，请直接写出AD的长.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 或 ； (3) 或或；

【解析】

（1）首先设BC边上的高AM交DE天点P．由在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，即可求得BM与AM的值，又由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形高的比等于相似比，即可得方程：，解此方程即可求得答案；

（2）首先根据三角函数的定义求得正方形DEFG的边长为，然后分别从当FG在△ABC的内部时与当FG在△ABC的外部时去分析求解即可求得答案；

（3）分别从GB=GD，DB=DG，BD=BG去分析求解即可求得答案．

(1)如图1，设BC边上的高AM交DE于点P.

∵AB=AC=5，BC=6，且AM⊥BC，

∴BM=BC=3,∴AM=,

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC,

∴,

设正方形DEFG的边长为a，

则,

∴a=，

∴当FG与BC重合时,正方形DEFG的边长为.

(2)在Rt△ADP中,DP=AD=x，

∴正方形DEFG的边长为x.

①如图2,当FG在△ABC的内部时, ;

②如图3，当FG与BC重合或在△ABC的外部时，设DG与BC交于点N.

在Rt△DBN中, .

∴

(3)如图4，当GB=GD时，过点G作GH⊥AB于H，

则DH=BH，

∵AD=x,DG=x，

∴DH=DG=x,

∵AD+DB=5，

∴x+x+x=5，

解得：x=，

则AD=;

如图5，当DB=DG时，

则AB=AD+DB=AD+DG，

即x+x=5，

解得x=，

即AD=;

如图6，当BD=BG时，

BD==DG=x=x，

∵AD+BD=AB=5，

∴x+x=5，

解得：x=，

∴AD=.

∴当△BDG是等腰三角形时,AD=或或.