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【题目】如图 1,在平面直角坐标系中,点 O 是坐标原点,四边形 ABCO 是菱形,点 A 的坐标为(-34),点 Cx 轴的正半轴上,直线 ACy 轴于点 MAB 边交 y 轴于点 H

1)求直线 AC 的解析式;

2)连接 BM,如图 2,动点 P 从点 A 出发,沿折线 ABC 方向以 2 个单位/秒的速度向终点 C 匀速运动,设△PMB 的面积为 SS0),点 P 的运动时间为 t 秒,求 St 之间的函数关系式(要求写出自变量 t 的取值范围);

3)在(2)的条件下,当 t 为何值时,∠MPB 与∠BCO 互为余角,并求此时直线 OP 与直线 AC 所夹锐角的正切值.

【答案】1;(2;(3)当t时,∠MPB与∠BCO互为余角,直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为;当t时,∠MPB与∠BCO互为余角,直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为1

【解析】

1)已知A点的坐标,就可以求出OA的长,根据OAOC,就可以得到C点的坐标,根据待定系数法就可以求出函数解析式;

2)点P的位置应分PABBC上两种情况进行讨论:当PAB上时,SBPMH;当PBC上时,SP1BBM,据此面积就可以表示出来;

3)分两种情况进行讨论,当P点在AB边上运动时:设OPAC相交于点Q连接OBAC于点K,证明△AQP∽△CQO,根据相似三角形的对应边的比相等,以及勾股定理可以求出AQQC的长,在直角△OHB中,根据勾股定理,可以得到tanOQC.当P点在BC边上运动时,可证△BHM∽△PBM和△PQC∽△OQA,根据相似三角形的对应边的比相等,就可以求出OKKQ就可以求出.

解:(1)过点AAEx轴垂足为E,如图(1),

A34),

AE4 OE3

OA5

∵四边形ABCO为菱形,

OCOA5

C50

设直线AC的解析式为:ykxb(k≠0)

,解得:

∴直线AC的解析式为:

2)由(1)得M点坐标为(0),

OM

如图(1),当P点在AB边上运动时,

由题意得OH4

HMOHOM4=

SBPMH52t·=t+0≤t),

P点在BC边上运动时,记为P1

∵∠OCM=∠BCMCOCBCMCM

∴△OMC≌△BMC

OMBM,∠MOC=∠MBC90°

SP1BBM2t5·=tt≤5),

综上所述:

3)设OPAC相交于点Q连接OBAC于点K

∵∠AOC=∠ABC

∴∠AOM=∠ABM

∵∠MPB+∠BCO90°,∠BAO=∠BCO,∠BAO+∠AOH90°

∴∠MPB=∠AOH

∴∠MPB=∠MBH

P点在AB边上运动时,如图(2),

∵∠MPB=∠MBH

PMBM

MHPB

PHHB2

PAAHPH1

t

ABOC

∴∠PAQ=∠OCQ

∵∠AQP=∠CQO

∴△AQP∽△CQO

RtAEC中,AC

AQQC

RtOHB中,OB

ACOBOKKBAKCK

OKAKKC

QKAKAQ

tanOQC

P点在BC边上运动时,如图(3),

∵∠BHM=∠PBM90°,∠MPB=∠MBH

tanMPBtanMBH

,即

BP

t

PCBCBP5

PCOA,同理可证△PQC∽△OQA

CQAC

QKKCCQ

OK

tanOQK

综上所述,当t时,∠MPB与∠BCO互为余角,直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为;当t时,∠MPB与∠BCO互为余角,直线OP与直线AC所夹锐角的正切值为1

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